Pradmenys

Euklido Pradmenys (sen. gr. Στοιχεῖα = Stoicheia) – matematikos knygų rinkinys apie geometriją, kurį parašė senovės graikų matematikas Euklidas Aleksandrietis apie 300 m. pr. m. e. Veikalą sudaro 13 tomų ir jis buvo išverstas į lotynų kalbą pavadinimu „Euclidis Elementorum“. Tai žinomiausias matematinis tekstas nuo seniausių laikų.

Sero Henry Billingsley pirmojo angliško Euklido Pradmenų leidimo titulinis puslapis, 1570 m.

Euklidas Pradmenyse surinko viską, kas jo laikais buvo žinoma apie geometriją, tai buvo pagrindinis senovės geometrijos vadovas. Remiantis Euklido veikalu parengti mokykliniai vadovėliai yra naudojami iki šių dienų.

Pradmenyse aprašyta geometrinė sistema ilgą laiką buvo vadinama tiesiog „geometrija“ ir laikoma vienintele įmanoma geometrija. Šiandien ši geometrija yra vadinama Euklidine geometrija, išskiriant nuo kitų vadinamųjų neeuklidinių geometrijų, kurias matematikai atrado XIX amžiuje.

Skyriai

„Pradmenys“ sudaryti iš 13 knygų.

Pirmoje knygoje apibrėžiamos visos veikale naudojamos sąvokos (taškas, tiesė, plokštuma), taip pat aprašomos būtinos aksiomos, kurias Euklidas suformulavo penkias. Be to, pirmoje knygoje aprašomos teoremos apie lygiagrečias tieses, statmenis ir lygias figūras. Paskutinės dvi teoremos pirmoje knygoje yra Pitagoro teorema ir jos atvirkštinė teorema.

Antroje knygoje aprašoma geometrinė algebra.

Trečioji knyga – apie apskritimo ilgį, jos dydžius, kampus, liestinę ir kt.

Ketvirtojoje knygoje apibrėžiamos ir aptariamos užrašytos ir apribotos figūros.

Penktojoje knygoje nagrinėjama graikų matematiko Eudokso sukurta proporcijų teorija.

Šeštojoje knygoje naudojama aukščiau aptarta teorija ir aprašomas figūrų panašumas.

Septintoji, aštuntoji ir devintoji knygos yra apie skaičių teoriją.

Septintoje knygoje Euklidas aprašo Euklido algoritmą, leidžiantį rasti didžiausią bendrą dviejų skaičių daliklį.

Aštuntoje knygoje – geometrinė progresija.

Devintoje knygoje kalbama apie pirminius skaičius, apie skaičiaus faktorialą.

Dešimtoje knygoje aprašoma iracionaliųjų dydžių geometrinė teorija.

Vienuoliktoji, dvyliktoji ir tryliktoji knyga yra apie stereometriją

Vienuoliktoji knyga, kaip ir pirmoji knyga, apibrėžia sąvokas, kurios bus naudojamos vėliau.

Dvyliktoje knygoje įrodomos trimačių figūrų – kūgio, cilindro, piramidės ir rutulio – tūrių formulės.

Tryliktoje knygoje Euklidas aprašė, kad egzistuoja tik penki taisyklingieji briaunainiai.

Aksiomos ir postulatai

Euklido „Pradmenyse“ aksiomų (teiginių priimamų be įrodymo) iš viso yra 14, jas Euklidas sugrupavo į dvi grupes: teiginius apie geometrijos figūras ir bendresnio pobūdžio teiginius, pvz., „lygus tam pačiam yra lygūs tarpusavyje“.

Pirmajame Pradmenų tome suformuluoti penki postulatai (aksiomos):

1. Per du nesutampančius taškus visada galima nubrėžti tiesę.
2. Atkarpą, jungiančią du taškus visada galima pratęsti į abi puses ir gauti tiesę.
3. Apie bet kokį tašką galima apibrėžti bet kokio spindulio apskritimą.
4. Visi statūs kampai tarpusavyje lygūs.
5. Jei tiesė kertanti dvi tieses, sudaro toje pačioje pusėje vidinius kampus mažesnius nei du statūs kampai (arba 180°), tiesės (pratęsus jas iki begalybės) susikirs toje pusėje, kurioje kampai mažesni nei du statūs kampai.

Penktasis postulatas dar yra vadinamas lygiagretumo postulatu, tačiau daugelis matematikų jo visiškai nepriima, nes, skirtingai nei kiti postulatai, jis nėra toks įtikinamas ir neturi tiesioginio įrodymo. Tie matematikai, kurie nesutinka su penktuoju postulatu, dažnai bandė įrodyti priešingai, iš ko susidarė nauja aksiomatinė teorija – neeuklidinė geometrija, kurios pradininkas yra Nikolajus Lobačevskis.

Šaltiniai

1. „Euclid’s Elements of Geometry“, UTexas.edu, February 2, 2011, web: UT-Euclid. 2014-04-19 iš Wayback Machine projekto.
2. Euklidas. Visuotinė lietuvių enciklopedija (tikrinta 2023-02-07).
3. Autorių kolektyvas. Matematika 11. II dalis. – Vilnius: TEV, 2002. – 142 p.