Geometrinė progresija

Geometrinė progresija – skaičių seka, kurioje kiekvienas narys pradedant antruoju gaunamas padauginus ankstesnįjį iš pastovaus skaičiaus (, dar vadinamo geometrinės progresijos vardikliu), kuris nėra lygus nuliui.

Diagrama, iliustruojanti tris geometrines progresijas, turinčias 6 narius. Pirmasis narys yra vienetas, o brūkšninė linija yra kiekvienos progresijos begalinės skaičių sekos sumos rezultatas, skaičius, prie kurio seka amžinai artės, bet niekada nepasieks. Atitinkamos sekų sumos yra 2, 3/2 ir 4/3.

Skirtingai nei aritmetinės progresijos, geometrinės progresijos augimas arba mažėjimas yra eksponentinis, o ne tiesinis.

Apibrėžimas

Skaičių seka ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ vadinama geometrine progresija, jei tam tikram skaičiui ${\displaystyle q\neq 0\,}$ tenkinama ši sąlyga:

${\displaystyle \forall _{n\in \mathbb {N} }a_{n+1}=a_{n}\cdot {q}}$

Skaičius ${\displaystyle q\,}$ vadinamas geometrinės sekos vardikliu ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$.

Jeigu yra žinomas pirmasis progresijos narys a=a₁ ir vardiklis q, tada n-asis narys gali būti apskaičiuojamas pagal formulę:

${\displaystyle a_{n}=a\,q^{n-1}.}$

Priklausomai nuo vardiklio reikšmės, sekos riba skiriasi:

• Jei 0 < q < 1, seka artėja į 0
• Jei q = 1, sekos riba yra a (visi sekos nariai yra lygūs)
• Jei q > 1, seka artėja į begalybę
• Jei 0 > q > −1, seka artėja į 0. Šiuo atveju yra du posekiai (teigiamų ir neigiamų narių), artėjantys į 0
• Jei q = −1, egzistuoja du posekiai, kurių vieno riba a, kito −a
• Jei q < −1, egzistuoja du posekiai, kurių vieno riba yra ${\displaystyle \infty }$ (begalybė), kito −${\displaystyle \infty }$

Geometrinė progresija, kurios vardiklio modulis q yra mažesnis už vienetą vadinama nykstamąja geometrine progresija.

Pavyzdžiai

• Seka ${\displaystyle (1,3,9,27,81,243,\ldots )}$ yra geometrinė seka su vardikliu ${\displaystyle q=3,\,}$
• Seka ${\displaystyle (1,-2,4,-8,16,-32,64,-128,\ldots )}$ yra geometrinė seka su vardikliu ${\displaystyle q=-2,\,}$
• Seka ${\displaystyle (1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{32}},\ldots )}$ yra geometrinė seka su vardikliu ${\displaystyle q={\frac {1}{2}},\,}$

Savybės

Geometrinės progresijos charakteringoji savybė – seka su teigiamaisiais nariais yra geometrinė progresija tada ir tik tada, kai bet kuris jos narys, išskyrus pirmąjį (ir paskutinįjį, kai progresija yra baigtinė), yra lygus gretimų narių geometriniam vidurkiui.

${\displaystyle \ b_{n}^{2}=b_{n-1}\cdot b_{n+1}}$

Geometrinės progresijos narių suma

Geometrinės progresijos baigtinio n narių skaičiaus suma yra:

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}aq^{k}={\frac {a(1-q^{n})}{1-q}}}$.

Begalinės mažėjančios geometrinės progresijos narių suma ( | q | < 1 ! ) yra:

${\displaystyle S=\sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}={\frac {a}{1-q}}}$.

Istorija

Vienintelis žinomas geometrinės progresijos įrašas iš Babilono matematikos laikų yra įspaustas molio lentelėje, šios progresijos pagrindas – 3, o vardiklis 1/2.

Euklido Pradmenų (apie 300 m. pr. m. e.) VIII ir IX knygose yra analizuojamos geometrinės progresijos ir pateikiamos jų savybės.

Šaltiniai

1. Geometrinė progresija. Visuotinė lietuvių enciklopedija (tikrinta 2023-02-07).
2. Autorių kolektyvas. Matematika. Vadovėlis XI klasei ir gimnazijų III klasei II dalis. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 104 p.
3. Vidmantas Pekarskas. Matematika: kurso kartojimo medžiaga. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 99 p.
4. Friberg, Jöran (2007). „MS 3047: An Old Sumerian Metro-Mathematical Table Text“. In Friberg, Jöran (red.). A remarkable collection of Babylonian mathematical texts. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. New York: Springer. pp. 150–153. doi:10.1007/978-0-387-48977-3. ISBN .  2333050.
5. Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] leid.). New York: Dover Publications.