Didžiausias bendrasis daliklis

Didžiausias bendras daliklis arba DBD – skaičių ${\displaystyle a1,a2,...,an}$ bendrųjų daliklių aibės D didžiausias elementas, vadinamas didžiausių šių skaičių bendruoju dalikliu. Paprasčiau, tai didžiausias skaičius, kuris dalina visus tuos skaičius be liekanos.

Jeigu didžiausias bendras daliklis yra 1, tuomet šie skaičiai vadinami tarpusavyje pirminiais skaičiais.

D${\displaystyle a}$-sveikojo skaičiaus a natūrinių daliklių aibė. Pvz.:D${\displaystyle 24={1,2,3,4,6,8,12,24}}$. Dviejų skaičių a ir b daliklių aibių D${\displaystyle a}$ ir D${\displaystyle b}$ sankirta yra jų bendrųjų daliklių (iš kurių dalijasi ir skaičius a, ir skaičius b) aibė.

Norint surasti kelių natūraliųjų skaičių didžiausią bendrą daliklį (DBD) reikia atlikti šiuos veiksmus:

1. Išskaidyti skaičius pirminiais dauginamaisiais.
2. Atrinkti tuos dauginamuosius, kurie įeina į kiekvieno skaičiaus skaidinį.
3. Suskaičiuoti atrinktų dauginamųjų sandaugą.

Pavyzdžiui, skaičių 441 ir 42 didžiausias bendras daliklis yra 21. Skaičių 15 ir 28 jis yra 1, kadangi šie skaičiai bendrų daliklių neturi. Pirmo pavyzdžio atveju, 441=3²·7² ir 42=2·3·7. Abiems skaidiniams bendri skaičiai mažiausiais laipsnių rodikliais yra 3·7, o tai ir yra 21.

Didelių skaičių DBD rasti gali būti naudojamas Euklido algoritmas.

Mažiausias bendras kartotinis (MBK) gaunamas sudauginus du skaičius ir padalinus juos iš tų skaičių didžiausio bendro daliklio. Pavyzdžiui, MBK(24; 32)=(24*32)/(DBD(24; 32))=768/8=96. Mažiausias bendras kartotinis yra toks mažiausias skaičius, iš kurio dalinasi du skaičiai 96/24=4; 96/32=3.

Taikymas

Didžiausias bendrasis daliklis yra reikalingas prastinant trupmenas. Pavyzdžiui, norint supaprastinti trupmeną 12/16, apskaičiuojamas DBD(12,16) = 4, tada ir vardiklis, ir skaitiklis yra padalinamas iš 4 ir gaunama nesuprastinama paprastoji trupmena:

${\displaystyle {\frac {12}{16}}={\frac {12/4}{16/4}}={\frac {3}{4}}.}$

DBD taip pat naudojamas supaprastinant algebrines išraiškas, pvz:

${\displaystyle {\sqrt[{6}]{x^{3}}}=x^{\frac {3}{6}}=x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}}$.

Šaltiniai

1. Janina Šulčienė. Ar moki matematiką. – Kaunas: Šviesa, 2003. – 6 p.
2. Petrė Grebeničenkaitė, Erika Tumėnaitė. Matematikos korepetitorius namuose. – Kaunas: Šiaurės Lietuva, 2002. – 9 p.

Nuorodos

• Eric W. Weisstein, Greatest Common Divisor, MathWorld. (angl.)