Plokštuma

Plokštuma – tobulai plokščia dvimatė daugdara arba paviršius, dvimatė . Plokštumoje išsidėsčiusias geometrines figūras tirianti geometrijos šaka vadinama planimetrija.

Dvi persikertančios plokštumos

Naudojant Dekarto koordinačių sistemą trimatėje erdvėje kiekviena plokštuma nusakoma lygtimi, kurios bendra forma yra:

${\displaystyle ax+by+cz+d=0.\qquad }$

čia koeficientai ${\displaystyle a,b,c}$ yra plokštumai statmeno vektoriaus (dar vadinamu normalės vektoriumi) koordinatės.

Plokštuma yra svarbi geometrijos sąvoka, nes ji leidžia apibrėžti daugybę kitų geometrinių objektų: Dekarto koordinačių sistemą ir plokštumos figūras – trikampius, keturkampius, apskritimus ir kt.

Plokštumos apibendrinimas daugiamatėje erdvėje vadinamas hiperplokštuma.

Plokštuma trimatėje erdvėje

Plokštuma trimatėje erdvėje.

Trimatėje euklidinėje erdvėje ℝ³ plokštuma yra apibūdinama tiesine lygtimi:

${\displaystyle ax+by+cz+d=0\,.}$

čia x, y ir z yra plokštumos taško koordinatės, o a, b, c ir d yra realieji skaičiai ir bent vienas iš skaičių a, b, c nėra lygus nuliui.

Savybės

Trys lygiagrečios plokštumos.

• Per bet kuriuos du plokštumos taškus galima nubrėžti lygiai vieną tiesę, bet kuris šios tiesės taškas priklauso plokštumai;
• Per bet kuriuos tris erdvės taškus (kurie nėra toje pačioje tiesėje) galima nubrėžti tik vieną plokštumą;
• Dviejų nesutampančių plokštumų sankirta yra tiesi linija.
• Dvi tiesės, statmenos tai pačiai plokštumai, yra lygiagrečios.
• Dvi plokštumos, statmenos tai pačiai tiesei, yra lygiagrečios.

Dviejų plokštumų tarpusavio padėtis

Galimos tokios plokštumų tarpusavio padėtys:

1. Dvi skirtingos plokštumos trimatėje erdvėje gali neturėti bendrų taškų, t. y., būti lygiagrečios. Žymima ${\displaystyle \alpha \|\beta }$.
2. Gali turėti bendrą tiesę, t. y., būti susikertančios. Žymima ${\displaystyle \alpha \nparallel \beta }$. Tokiu atveju plokštumos sudaro dvisienį kampą, kuris yra lygus kampui tarp dviejų tų plokštumų statmenų dvisienio kampo briaunai.
3. Gali sutapti. Žymima ${\displaystyle \alpha =\beta }$.

Atstumas nuo taško iki plokštumos

Trumpiausias atstumas tarp duotos plokštumos ${\displaystyle ax+by+cz+d=0\,}$ ir taško ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$, kuris nebūtinai yra toje plokštumoje, yra lygus

${\displaystyle D={\frac {\left|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.}$

Iš to seka, kad taškas ${\displaystyle \mathbf {p} _{0}}$ yra plokštumoje tada ir tik tada, kai ${\displaystyle D=0}$. Jeigu ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=1}$, vadinasi a, b ir c yra normalizuoti, tada formulė supaprastėja:

${\displaystyle D=|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|\,.}$

Šaltiniai

1. Birutė Gražulevičienė. Mokyklinės matematikos žinynas. – Vilnius: Leidybos centras, 1997. – 112 p.
2. Vaidotas Mockus. Geometrijos žinynas moksleiviams. – Šiauliai: Šiaulių pedagoginis institutas, 1996. – 196 p.
3. Vaidotas Mockus. Geometrijos žinynas moksleiviams. – Šiauliai: Šiaulių pedagoginis institutas, 1996. – 122 p.
4. Petrė Grebeničenkaitė, Erika Tumėnaitė. Matematikos korepetitorius namuose. – Kaunas: Šiaurės Lietuva, 2002. – 183 p.

Nuorodos

• Eric W. Weisstein, Plane, MathWorld. (angl.)