Sfera

Sfera (sen. gr. σφαῖρα - rutulys) – geometrinės erdvės uždaras paviršius, kurio visi taškai vienodu atstumu (lygiu jos spinduliui) nutolę nuo vieno taško, vadinamo sferos centru. Sfera yra antrosios eilės paviršius.

Sfera

Sfera yra mažiausias paviršius, galintis uždengti tam tikrą tūrį. Pavyzdžiui, gamtoje oro burbuliukai ir vandens lašeliai (nepriklausomai nuo gravitacijos ar kitokio poveikio) yra sferiniai, nes jų paviršiaus įtempimas siekia sumažinti paviršiaus plotą.

Sferos negalima iškloti plokštumoje.

Plotas ir tūris

Sferos, kurios spindulys ${\displaystyle r}$, plotas yra:

${\displaystyle S=4\pi r^{2}}$

Sferos ribojamas tūris arba (rutulio tūris)

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

Sferos ir plokštumos yra apskritimas. Jei ta plokštuma eina per sferos centrą, tai sankirtos rezultatas yra vadinamas didysis apskritimas.

Sfera trimatėje Euklidinėje erdvėje yra paviršius (tai yra dvimatė daugdara), kurio lygtis Dekarto koordinačių sistemoje yra:

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2},}$

čia ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ – sferos centro koordinatės, ${\displaystyle r}$ – sferos spindulys.

Sferos sąvoka yra apibendrinama n-matei Euklidinei erdvei (n – natūralusis skaičius), tokios sferos lygtis:

${\displaystyle (x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-a_{n})^{2}=r^{2},}$

čia ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ yra realiosios konstantos, ${\displaystyle r}$ – teigiamas realusis skaičius. Sfera n-matėje erdvėje yra (n-1)-matė daugdara.

Sfera vaidino svarbų vaidmenį kultūros ir mokslo istorijoje. Platono kūnai bei jų įbrėžtos ir apibrėžtos sferos sudarė Keplerio Saulės sistemos modelio pagrindą, kuris paskatino Keplerio dėsnių atradimą. Astronomai iki šiol naudojasi dangaus sferos sąvoka.

Su sfera yra susijęs vienas iš Tūkstantmečio premijos uždavinių, Puankarė hipotezė, kurioje teigiama, kad kiekviena vienajungė kompaktinė trimatė daugdara be krašto yra homeomorfinė trimatei sferai (įprasta sfera yra dvimatė). Šią hipotezę įrodė Grigorijus Perelmanas rezultatų pagrindu.

Pjūviai

Didysis apskritimas dalina sferą į dvi lygias dalis.

Sferos ir plokštumos sankirtos.

Kertant sferą plokštuma visada gaunamas apskritimas. Sfera yra vienintelis geometrinis kūnas, kuris pasižymi šia savybe.

Jeigu sferą kertanti plokštuma eina per sferos centrą, gauto apskritimo spindulys yra lygus sferos spinduliui ${\displaystyle r}$. Toks apskritimas yra vadinamas didžiuoju apskritimu.

Jeigu atstumas ${\displaystyle d}$ tarp plokštumos ir centro yra mažesnis už sferos spindulį ${\displaystyle r}$, pjūvio spindulį galima rasti pritaikius Pitagoro teoremą:

${\displaystyle r'={\sqrt {r^{2}-d^{2}}}}$

Hipersfera

Sfera turinti daugiau negu 3 matmenis vadinama hipersfera. Kaip ir trijų dimensijų sfera, hipersfera yra rinkinys taškų vienodai nutolusių nuo jos centro.

Istorija

Sferos geometriją tyrinėjo graikai. Euklido veikale „Pradmenys“ sfera apibrėžiama XI-oje knygoje, XII-oje knygoje aptariamos įvairios sferos savybės, o XIII-oje knygoje aprašyta kaip į sferą įbrėžti penkis taisyklinguosius daugiakampius. Rtulio ploto ir tūrio apskaičiavimo Euklidas neaprašo, pateikia tik teoremą, kad rutulio tūris kinta proporcingai skersmeniui pakeltu kubiniu laipsniu. Tūrio ir ploto formulės pirmą kartą buvo nustatytos Archimedo knygoje „Apie sferą ir cilindrą“ panaudojant „išsekinimo metodą“ (angl. method of exhaustion). Graikų matematikas Zenodoras pirmasis pareiškė, kad tam tikram paviršiaus plotui sfera yra didžiausio tūrio kūnas.

Šaltiniai

1. sfera. Visuotinė lietuvių enciklopedija (tikrinta 2024-02-07).
2. Autorių kolektyvas. Matematika. Vadovėlis X klasei ir gimnazijų II klasei II dalis. – Kaunas: Šviesa, 2002. – 69 p. ISBN 5-430-034xx-x

Vikiteka: Sfera – vaizdinė ir garsinė medžiaga