Gauso funkcija

Matematikoje Gauso funkcija – funkcija, kuri yra apibrėžiama kaip:

Normuotos Gauso funkcijos kreivės su tikėtina vertė μ ir vidutiniu standartiniu nuokrypiu σ². Atitinkami parametrai a= 1/(σ√(2π)), b=μ, c=σ

${\displaystyle f(x)=ae^{-{(x-b)^{2} \over 2c^{2}}},\quad a,b,c\in \mathbb {R} ,a>0,c>0.}$

Gauso funkcijos grafikas yra būdingas savo simetriniu varpo pavidalu, kuris greitai nuslopsta funkcijos argumento vertėms artėjant į teigiamą arba neigiamą begalybę. Parametras a yra kreivės maksimumo aukštis, dydis b yra maksimumo centro padėtis, o dydis c nulemia "varpo" plotį.

Gauso funkcijos yra plačiai paplitusios įvairiose mokslo srityse – statistikoje, kur jos aprašo normalųjį tikimybės tankio skirstinį, signalų teorijoje, kur jos aprašo Gauso , vaizdų apdorojime, kur dvimatė Gauso funkcija naudojama "blur" filtro algoritme, bei fizikoje, kur jos yra šilumos pernašos ir parabolinės difrakcijos teorijos diferencialinių lygčių sprendiniai.

Savybės

Gauso funkcijos yra gaunamos į eksponentinės funkcijos argumentą bet kokį antros eilės polinomą, tokiu būdu, Gauso funkcijos logaritmas visuomet bus kvadratiniu dėsniu aprašoma funkcija.

Signalų teorijoje yra parametras c yra susijęs su (angl. "Full Width at Half Maximum", sutr. FWHM) sekančiu sąryšiu

${\displaystyle d_{\mathrm {FWHM} }=2{\sqrt {2\ln 2}}\ c=2.35482\ldots \cdot c.}$

Matematikoje, parametras c gali būti interpretuotas kaip dviejų persilenkimo taškų padėtį nusakantis parametras. Persilenkimo taškai yra ties x = b − c and x = b + c.

Gauso funkcijos yra , jų riba, kai ${\displaystyle x\to \pm \infty }$, yra 0.

Gauso funkcijos priklauso elementarių funkcijų šeimai, tačiau neturi pirminės funkcijos; Gauso funkcijos integralas yra . Nepaisant to, jų apibrėžtas integralas per visą realiųjų skaičių ašį surandamas tiksliai pagalba

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$

ir po pertvarkimų gaunama

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-{(x-b)^{2} \over 2c^{2}}}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\pi }}.}$

Integralo vertė yra vienetinė tik tuomet, kai a = 1/(c√ (2π)), šiuo atveju Gauso funkcija yra funkcija, aprašanti normalųjį skirstinį, žinoma statistikoje. Jis aprašo atsitiktinių dydžių su tikėtina vertė μ = b ir vidutiniu nuokrypiu σ² = c². Gauso funkcijų pavyzdžiai pateikti paveiksliuke

Atlikdami Gauso funkcijos Furjė transformaciją, kuomet a, b = 0 ir c, yra gaunama kita Gauso funkcija su parametrais ac, b = 0 ir 1/c. Tokiu būdu, Gauso funkcijos su b = 0 ir c = 1 nėra iškraipomos Furjė transformacijos (jos yra Furjė transformacijos , atitinkančios tikrinę vertę 1).

Dviejų Gauso funkcijų sandauga ir yra taip pat Gauso funkcija.

Dvimatė Gauso funkcija

Gauso funkcija dvimatėje erdvėje. A = 1, x_o = 0, y_o = 0, σ_x = σ_y = 1

Dalinis dvimatės Gauso funkcijos atvejis yra

${\displaystyle f(x,y)=Ae^{-\left({\frac {(x-x_{o})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {(y-y_{o})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\right)}.}$

Čia dydis A yra amplitudė, x_o,y_o yra viršunės padėtis ir σ_x, σ_y yra pločiai x ir y kryptimis.

Bendru atveju dvimate Gauso funkcija užrašoma taip

${\displaystyle f(x,y)=Ae^{-\left(a(x-x_{o})^{2}+2b(x-x_{o})(y-y_{o})+c(y-y_{o})^{2}\right)}}$

kur matrica

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}a&b\\b&c\end{matrix}}\right]}$

yra teigiamai apibrėžta.

Taip pat skaitykite

• Gauso pluoštas
• Ermito ir Gauso pluoštas
• Lagero ir Gauso pluoštas

Šaltiniai

1. „Gaussian Blur Algorithm | Pixelstech.net“. pixelstech.net. Nuoroda tikrinta 2024-02-03.