Integralas

Integralas (žymima ${\displaystyle \int }$) – matematinė funkcija, gaunama kaip rezultatas veiksmo, atvirkščio diferencijavimui. Integralo skaičiavimas vadinamas integravimu. Integravimas matematikoje ir fizikoje taikomas siekiant apskaičiuoti figūros plotą, kreivės ilgį, kieto kūno turį bei kitose srityse.

Integralai gali būti neapibrėžtiniai ir apibrėžtiniai (turintys intervalą).

Istorija

Ankstyviausiais integralų prototipais galima laikyti maždaug 370 m. pr. m. e. gyvenusio senovės graikų astronomo Eudokso taikytą , kuriuo plotai ir tūriai būdavo apskaičiuojami juos padalinant į begalę mažesnių figūrų. Šį metodą toliau plėtojo III a. pr. m. e. gyvenęs Archimedas, tokiu metodu apskaičiuodavęs skritulio plotą, sferos tūrį ir paviršiaus plotą, elipsės plotą, parabolės ribojamą plotą, besisukančių paraboloido ir tūrius bei plotą.

Šį skaičiavimo metodą nepriklausomai nuo graikų išvystė III a. kinų matematikas , tokiu būdu apskaičiuodavęs skritulio plotą, o V a. matematikų ir jau buvo apskaičiuojami sferos tūriai.

Kitas pavyzdys – X ir XI a. sandūroje gyvenęs arabų matematikas , išradęs sumos formulę, leidusią jam apskaičiuoti paraboloido tūrį.

Žymesnio progreso integravime nebuvo iki pat XVII a., kai išdėstė plotams ir tūriams skaičiuoti, o ištyrė diferencijavimo procesą bei nustatė laipsninės funkcijos diferencijavimo bendrąjį dėsnį, taip paklodami pamatus integraliniam ir diferencialiniam skaičiavimui. Dar didesnį proveržį į integralinį skaičiavimą įnešė Leibnico ir Niutono teorema, paaiškinusi ryšį tarp integravimo ir diferencijavimo.

Integralo terminas pirmąkart pavartotas 1690 m. lotyniškame tekste Ergo et horum Integralia aequantur, parašytame .

Neapibrėžtinis integralas

Pagrindinis straipsnis – Neapibrėžtinis integralas.

funkcijos f(x) pirmykšte vadinama tokia funkcija ${\displaystyle F(x)}$, kurios išvestinė lygi ${\displaystyle f(x)}$, t. y. ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$. Jei ${\displaystyle F(x)}$ yra funkcijos ${\displaystyle f(x)}$ pirmykštė funkcija ir ${\displaystyle C}$ – bet kuris realusis skaičius (laisvoji konstanta), tai ${\displaystyle F(x)+C}$ irgi yra funkcijos ${\displaystyle f(x)}$ pirmykštė funkcija. Ši pirmykščių funkcijų aibė vadinama funkcijos ${\displaystyle f(x)}$ neapibrėžtiniu integralu ir žymima: ${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}$, kur ${\displaystyle f(x)}$ – pointegralinė funkcija, ${\displaystyle f(x)dx}$ – pointegralinis reiškinys.

Apibrėžtinis integralas

Pagrindinis straipsnis – Apibrėžtinis integralas.

Apibrėžtiniu integralu vadinamas įrankis, skirtas skaičiuoti plotui, masei ir kitiems adityviems dydžiams.

Intervalui esant su dviem integravimo rėžiais ${\displaystyle [a;b]}$, intervalas skaidomas į be galo mažus gabaliukus. Kiekvienas toks gabaliukas susietas su tam tikru skaičiumi (apibrėžta funkcija šiame intervale). Integravimas atliekamas sudauginus kiekvieno gabaliuko ilgį iš to skaičiaus ir viską susumavus. Riba, kai tokio gabaliuko ilgis be galo mažas, yra vadinama apibrėžtiniu integralu.

Šaltiniai

1. Tarptautinių žodžių žodynas. Tikrinta 2022-04-24
2. Burton 2011, p. 117.
3. Heath 2002.
4. Katz 2009, pp. 201–204.
5. Katz 2009, pp. 284–285
6. Katz 2009, pp. 305–306.
7. Francesco Bonaventura Cavalieri (VLE) Nuoroda tikrinta 2022-04-23
8. Katz 2009, pp. 536–537.
9. Stillwell 1989, p. 131.
10. Cajori 1929, p. 182.
11. Neapibrėžtinis integralas (VLE), Nuoroda tikrina 2022-04-23

Literatūra

• Burton, David M. (2011), The History of Mathematics: An Introduction (7th ed.), McGraw-Hill,  
• , ed. (2002), The Works of Archimedes, Dover,  
  (Pirmasis leidimas – 1897 m., Kembridžo universiteto leidykla)
• Katz, Victor J. (2009), A History of Mathematics: An Introduction, Addison-Wesley,  
• Stillwell, John (1989), Mathematics and Its History, Springer,  

Taip pat skaitykite

• Integralinis ir diferencialinis skaičiavimas