Laplasianas

Laplaso operatorius arba laplasianas – , atvaizduojantis skaliarinį lauką į kitą skaliarinį lauką – pirmojo lauko gradiento divergenciją. Laplaso operatoriaus apibendrinimas vektoriniams laukams yra . Laplaso operatorius pavadintas pagerbiant Pjerą Simoną Laplasą (1749–1827). Taikomas diferencialinių lygčių teorijoje, funkcijų teorijoje, funkcinėje analizėje ir geometrijoje.

Skaliarinio lauko ${\displaystyle f=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$ laplasianas žymimas ${\displaystyle \Delta f}$ arba ${\displaystyle \nabla ^{2}f}$:

${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f=\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}.}$

Fizikoje Laplaso operatorius naudojamas aprašyti bangos sklidimą, difuziją ir pan.

Laplaso operatorius stačiakampėje koordinačių sistemoje:

${\displaystyle \operatorname {div} \;\operatorname {grad} f=\nabla ^{2}f=\Delta f={\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.}$

Laplaso operatorius cilindrinėje koordinačių sistemoje:

${\displaystyle \Delta ={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }(\rho {\partial \over \partial \rho })+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2} \over \partial \phi ^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}={1 \over \rho }({\partial \rho \over \partial \rho }{\partial \over \partial \rho }+\rho {\partial ^{2} \over \partial \rho ^{2}})+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2} \over \partial \phi ^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}},}$

${\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial f \over \partial \rho }+{\partial ^{2}f \over \partial \rho ^{2}}+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.}$

Laplaso operatorius sferinėje koordinačių sistemoje:

${\displaystyle \Delta ={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}(r^{2}{\partial \over \partial r})+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }(\sin \theta {\partial \over \partial \theta })+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2} \over \partial \phi ^{2}},}$

${\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}(2r{\partial f \over \partial r}+r^{2}{\partial ^{2}f \over \partial r^{2}})+{1 \over r^{2}\sin \theta }(\cos \theta {\partial f \over \partial \theta }+\sin \theta {\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}})+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}=}$

${\displaystyle ={2 \over r}{\partial f \over \partial r}+{\partial ^{2}f \over \partial r^{2}}+{\cot \theta \over r^{2}}{\partial f \over \partial \theta }+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}.}$

Šaltiniai

1. Laplace’o operatorius. Visuotinė lietuvių enciklopedija (tikrinta 2024-01-30).