Žiedas (algebra)

Šiam straipsniui ar jo daliai reikia daugiau . Jūs galite padėti Vikipedijai įrašydami tinkamas išnašas ar .

Algebrinė struktūra - aibė, kurioje yra apibrėžta viena arba kelios algebrinės operacijos. Algebrinės struktūros yra žymimos :

${\displaystyle (S,\ast ,\dots )}$ 

kur ${\displaystyle S}$ yra aibė, ${\displaystyle \ast }$ yra kompozicijos dėsnis, kurio tiksli išraiška yra apibrėžiama kiekvienu konkrečiu atveju.

Pagrindinės algebrinės struktūros

Grupoidas

Daugiau informacijos galite rasti straipsnyje .

Grupoidas - tai aibė, kurioje yra apibrėžtas vienas kompozicijos dėsnis. Daugiau jokių sąlygų grupoidui nėra - net asociatyvumo sąlygos.

Pavyzdžiui, realiųjų skaičių aibė su atimties kompozicija

${\displaystyle (\mathbb {R} ,-)}$ 

yra grupoidas, nes atimties operacija nėra asociatyvi:

${\displaystyle (a-b)-c\neq a-(b-c)}$, ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$. 

Pusgrupė

Daugiau informacijos galite rasti straipsnyje Pusgrupė.

Pusgrupė - tai aibė, kurioje yra apibrėžtas uždaras asociatyvus kompozicijos dėsnis.

Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių aibė be nulio sudėties atžvilgiu

${\displaystyle (\mathbb {N} ^{+},+)}$ 

yra pusgrupė, nes sudėties operacija yra asociatyvi:

${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$, ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {N} ^{+}}$, 

ir ši struktūra neturi neutralaus elemento.

Monoidas

Daugiau informacijos galite rasti straipsnyje Monoidas.

Monoidas – pusgrupė, kurioje yra neutralusis elementas (vienetas) toks, kad:

${\displaystyle a+e=e+a=a}$

Čia ${\displaystyle e}$ yra neutralus elementas.

Grupė

Daugiau informacijos galite rasti straipsnyje Grupė (algebra).

Grupė tai yra monoidas, kuriame kiekvienas elementas turi sau simetrinį elementą (atvirkštinį):

${\displaystyle a+a^{-1}=a^{-1}+a=e}$

Čia ${\displaystyle a^{-1}}$ elementas atvirkštinis ${\displaystyle a}$.

Abelio grupė

Daugiau informacijos galite rasti straipsnyje Abelio grupė.

Abelio grupė tai yra grupė, kurioje esantis kompozicijos dėsnis yra komutatyvus:

${\displaystyle a+b=b+a}$

Čia ${\displaystyle a,b}$ – aibės elementai.

Žiedas

Daugiau informacijos galite rasti straipsnyje .

Žiedas tai yra aibė su joje įvestais dviem kompozicijos dėsniais (${\displaystyle +,\cdot }$). Pirmojo kompozicijos dėsnio (${\displaystyle +}$) atžvilgiu žiedas yra Abelio grupė. Antrojo kompozicijos dėsnio (${\displaystyle \cdot }$) atžvilgiu žiedas yra pusgrupė. Ir taip pat abiem kompozicijos dėsniams galioja distributyvumo taisyklė:

${\displaystyle (a+b)\cdot c=b\cdot c+a\cdot c}$

Čia ${\displaystyle a,b,c}$ aibės elementai.

Kūnas

Daugiau informacijos galite rasti straipsnyje .

Kūnas (angl. division ring) tai yra žiedas, kuris pirmojo kompozicijos dėsnio (${\displaystyle +}$) atžvilgiu yra Abelio grupė. Antrojo kompozicijos dėsnio (${\displaystyle \cdot }$) atžvilgiu yra tiesiog grupė (nebūtina komutatyvumo sąlyga), kurioje atvirkštinis elementas apibrėžtas visiems aibės elementams, išskyrus „0 “– pirmojo kompozicijos dėsnio (${\displaystyle +}$) neutralųjį (vienetinį) elementą.

Laukas

Daugiau informacijos galite rasti straipsnyje .

Laukas tai yra kūnas, kuriame antrasis kompozicijos dėsnis (${\displaystyle \cdot }$) yra komutatyvus. Arba kitas apibrėžimas, kad tai yra žiedas, kuriame abu kompozicijos dėsniai yra Abelio grupės.

Išnašos

1. „Algebraic structure“. Definitions.net. Nuoroda tikrinta 2021 m. kovo 2 d..
2. „Grupoidas“. Terminai.lt - tarptautinių žodžių žodynas. Nuoroda tikrinta 2021 m. kovo 5 d..
3. „Pusgrupė“. Visuotinė lietuvių enciklopedija. Nuoroda tikrinta 2021 m. kovo 5 d..