Koši-Rymano sąlygos

Koši–Rymano sąlygos tai dviejų diferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmis sistema, apibrėžianti kompleksinio kintamojo holomorfinę (arba kitais žodžiais - analizinę) funkciją. Šią lygčių sistemą pirmą kartą užrašė 1752 metais. Kiek vėliau, 1797 metais, Leonardas Oileris susiejo šią sistemą su analizinėmis funkcijomis. 1814 metais Koši panaudojo jas konstruodamas savo funkcijų teoriją. 1851 metais šios lygtys buvo panaudotos ir Rymano disertacijoje vystant funkcijų teorijos pagrindus.

Koši-Rymano sąlygos tai yra dviejų diferencialinių lygčių sistema susiejanti kompleksinės funkcijos f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y) realiąją u(x,y) ir menamąją v(x,y) dalis:

(1a)	${\displaystyle {\dfrac {\partial u}{\partial x}}={\dfrac {\partial v}{\partial y}}}$
(1b)	${\displaystyle {\dfrac {\partial u}{\partial y}}=-{\dfrac {\partial v}{\partial x}}}$

Geometrinė Koši-Rymano sąlygų prasmė

Tarus, kad u(x,y) ir v(x,y) yra tam tikros kreivių šeimos, Koši-Rymano sąlygos atitinka konforminio atvaizdo apibrėžimui ( tai yra tokios funkcijos, kurios nekeičia kampų tarp kreivių u ir v).

Kompleksinis diferencijavimas

Tarkime, kad

${\displaystyle f(z)=u(z)+i\cdot v(z)}$

yra kompleksinio kintamojo z funkcija. Tuomet funkcijos f išvestinę taške z₀ apibrėšime kaip ribą:

${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbf {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}=f'(z_{0})}$

Jei ši riba egzistuoja, ją galime skaičiuoti išilgai realiosios arba išilgai menamosios ašies. Abiem atvejais tikėtumėmės kad jos turi sutapti. Taigi, artėdami prie jos išilgai realiosios ašies gausime:

${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbf {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}={\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0}).}$

O artėdami prie jos išilgai menamosios ašies gauname:

${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbf {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z_{0}+ih)-f(z_{0})}{ih}}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0}).}$

f išvestinių lygybė išilgai abiejų ašių duoda mums kitokią Koši-Rymano sąlygų formuluotę:

${\displaystyle i{\frac {\partial f}{\partial x}}(z_{0})={\frac {\partial f}{\partial y}}(z_{0}),}$

Fizikinė interpretacija

Tarkime, kad u ir v tenkina Koši-Rymano sąlygas ir gali būti užrašytos kaip vektorius

${\displaystyle {\bar {f}}={\begin{bmatrix}u\\-v\end{bmatrix}}}$

Tuomet Koši-Rymano sąlyga (1b) teigia, kad ${\displaystyle {\bar {f}}}$ yra besūkurinis laukas (jo lygus 0):

${\displaystyle {\frac {\partial (-v)}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}=0.}$

Koši-Rymano sąlyga (1a) teigia, kad ${\displaystyle {\bar {f}}}$ yra solenoidinis laukas (jo divergencija lygi 0):

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial (-v)}{\partial y}}=0.}$

Kitais žodiais tariant, toks laukas yra be sūkurių, šaltinių ir sankaupų.

Trigonometrinė forma

Užrašant kompleksinę funkciją trigonometrinėje formoje z = r e^iθ, Koši-Rymano sąlygos bus

${\displaystyle {\partial u \over \partial r}={1 \over r}{\partial v \over \partial \theta },\quad {\partial v \over \partial r}=-{1 \over r}{\partial u \over \partial \theta }.}$

Arba tai gali būti pateikiama viena lygtimi dėl f išvestinės:

${\displaystyle {\partial f \over \partial r}={1 \over ir}{\partial f \over \partial \theta }.}$

Šaltiniai

• (1953), Complex analysis (3rd ed.), McGraw Hill (published 1979),  .
• (1752), Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides, Paris .
• (1814), Mémoire sur les intégrales définies,, Oeuvres complètes Ser. 1, 1, Paris (published 1882), p. 319–506 
• Chanson, H. (2007), "Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange." ('Velocity Potential in Real Fluid Flows: Joseph-Louis Lagrange's Contribution.')", Journal La Houille Blanche 5: 127–131, doi:10.1051/lhb:2007072, ISSN 0018-6368 .
• (1969), Foundations of modern analysis, Academic Press .
• Euler, L. (1797), Nova Acta Acad. Sci. Petrop. 10: 3–19 
• Gray, J. D. & Morris, S. A. (1978), "When is a Function that Satisfies the Cauchy–Riemann Equations Analytic?", The American Mathematical Monthly 85(4): 246–256, April 1978 .
• Looman, H. (1923), "Über die Cauchy–Riemannschen Differeitalgleichungen", Göttinger Nachrichten: 97–108 .
• & Szegő, Gábor (1978), Problems and theorems in analysis I, Springer,  
• Riemann, B. (1851), "Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse", in H. Weber, Riemann's gesammelte math. Werke, Dover, 1953, p. 3–48 
• (1966), Real and complex analysis (3rd ed.), McGraw Hill (published 1987),  .
• & Tall, David (1983), Complex Analysis (1st ed.), CUP (published 1984),  .

Nuorodos

• Cauchy–Riemann Equations Module by John H. Mathews