Trikampio nelygybė teigia kad bet kokio trikampio bet kurių dviejų kraštinių ilgių suma yra nemažesnė už trečios kraštin

Trikampio nelygybė teigia, kad bet kokio trikampio bet kurių dviejų kraštinių ilgių suma yra nemažesnė už trečios kraštinės ilgį.Euklidinėje geometrijoje ir kai kuriose kitose geometrijose tai yra teorema. Euklido geometrijoje dviejų kraštinių ilgių suma yra lygi trečiosios kraštinės ilgiui tada ir tik tada, kai trikampis turi vieną 180° kampą ir du 0° kampus, kaip parodyta apatiniame dešinėje esančio paveikslėlio pavyzdyje.

Du trikampio nelygybės pavyzdžiai. Viršutinis brėžinys yra pavyzdys, kai galima pritaikyti griežtą nelygybę, nes visi kampai yra mažesni už 180°. Apatiniame pavyzdyje dviejų kraštinių suma yra lygi trečiajai kraštinei.

V, trikampio nelygybė yra

\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|\quad \forall \,x,y\in V

t. y. dviejų vektorių sumos norma yra nedidesnė už tų pačių dviejų vektorių normų sumą.

Realiųjų skaičių tiesė yra normuota vektorių erdvė, kurioje norma yra modulis. Taigi, trikampio nelygybė teigia, kad bet kuriems realiesiems skaičiams x ir y galioja nelygybė

|x+y|\leq |x|+|y|.\,

Iš atvirkštinės trikampio nelygybės išeina, kad bet kuriems realiesiems skaičiams x ir y galioja ir nelygybė

|x-y|\geq {\bigg |}|x|-|y|{\bigg |}.

Euklido geometrija

1 pav. Euklido trikampio nelygybės įrodymas Euklidinėje geometrijoje.

Euklidas įrodė trikampio nelygybę atstumams esantiems Euklidinėje geometrijoje, žr. 1 pav. Turimam trikampiui $ABC$ , pratęsiant kraštinę $BC$ sudaromas lygiašonis trikampis, kurio kraštinė $BD$ yra $AB$ pratęsimas. Tada teigiama, kad kampas $β$ yra didesnis negu kampas $α$ , todėl kraštinė $AD$ yra ilgesnė už kraštinę $AC$ . Kadangi $AD = AB + BD = AB + BC$ , tai $AB$ ir $BC$ ilgių suma yra didesnė už $AC$ ilgį. Šis įrodymas yra pateikiamas Euklido Pradmenų 1-ojoje knygoje, kaip 20-asis teiginys.

Šaltiniai

Khamsi, Mohamed A.; Kirk, W. A. (2001). An introduction to metric spaces and fixed point theory. New York: John Wiley. ISBN . OCLC 761319797.
Harold R. Jacobs (2003). Geometry: seeing, doing, understanding (3rd leid.). Macmillan. p. 201. ISBN .
David E. Joyce (1997). „Euclid's elements, Book 1, Proposition 20“. Euclid's elements. Dept. Math and Computer Science, Clark University. Nuoroda tikrinta 2010-06-25.

Šis su matematika susijęs straipsnis yra . Jūs galite prisidėti prie Vikipedijos papildydami šį straipsnį.

[Khamsi-1] Khamsi, Mohamed A.; Kirk, W. A. (2001). An introduction to metric spaces and fixed point theory. New York: John Wiley. ISBN . OCLC 761319797.

[Jacobs-2] Harold R. Jacobs (2003). Geometry: seeing, doing, understanding (3rd leid.). Macmillan. p. 201. ISBN .

[Joyce-3] David E. Joyce (1997). „Euclid's elements, Book 1, Proposition 20“. Euclid's elements. Dept. Math and Computer Science, Clark University. Nuoroda tikrinta 2010-06-25.