Modulis

Matematikoje realaus skaičiaus absoliutus dydis (arba modulis) – skaičiaus vertė be skaičių lydinčio ženklo. Tarkim, absoliuti vertė (modulis) skaičių 4 ir -4 yra vienoda ir lygi 4.

Funkcijos y=|x| (arba y=abs(x)) grafikas realiųjų skaičių aibėje

Skaičiaus ${\displaystyle a}$ modulis (absoliuti vertė) matematikoje yra žymimas simboliu ${\displaystyle |a|.}$ Kompiuterinėse programose funkcija, atliekanti modulio radimą, dažniausiai yra žymima abs().

Matematikoje absoliutaus dydžio sąvoka yra apibendrinama ir taikoma ne tik realiems skaičiams bet ir kompleksiniams, kvarternijonams, , vektoriams, tenzoriams bei kitiems skaičių teorijos objektams. Modulio sąvoka, tiek fizikoje, tiek matematikoje, yra labai susijusi su amplitudės, atstumo bei normos sąvokomis .

Apibrėžimas

Absoliutus realaus skaičiaus dydis yra gaunamas atmetus ženklą. Geometriškai absoliutus dydis reiškia atstumą iki duoto taško nuo atskaitos pradžios (nulio). Realiajam skaičiui ${\displaystyle x}$ galioja:

${\displaystyle |x|={\begin{cases}\ &-x&&\mathrm {\;\;kai\;\;} x<0,\\\ &\;\;\;x&&\mathrm {\;\;kai\;\;} x\geq 0.\\\end{cases}}}$

Kompleksiniai skaičiai

Kadangi kompleksiniai skaičiai nėra išrikiuoti, jiems absoliutaus dydžio apibrėžimas netinka, tačiau geometrinė absoliutaus dydžio interpretacija kaip atstumas nuo 0 gali būti apibendrinta. Kompleksinio skaičiaus absoliutus dydis apibrėžiamas kaip Euklidinis atstumas kompleksinėje plokštumoje nuo jį atitinkančio taško iki pradžios taško. Tai galima apskaičiuoti panaudojant Pitagoro teoremą.

$${\displaystyle z=x+iy,}$$

čia ${\displaystyle x}$ ir ${\displaystyle y}$ yra realieji skaičiai, kompleksinio skaičiaus ${\displaystyle z}$ modulis yra žymimas ${\displaystyle |z|}$ ir apskaičiuojamas pagal formulę:

$${\displaystyle |z|={\sqrt {\operatorname {Re} (z)^{2}+\operatorname {Im} (z)^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$$

čia ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)=x}$ ir ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)=y}$ atitinkamai žymi tikrąją ir menamąją skaičiaus ${\displaystyle z}$ dalis. Kai menamoji dalis ${\displaystyle y}$ yra lygi nuliu, šis apibrėžimas tampa su realaus skaičiaus ${\displaystyle x}$ modulio apibrėžimu.

Savybės

Keletas modulio savybių:

1. ${\displaystyle \|ab|=|a||b|}$;
2. ${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}},b\neq 0}$;
3. ${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$;
4. ${\displaystyle ||a|-|b||\leq |a-b|}$.

Šaltiniai

1. Janina Šulčienė. Ar moki matematiką. – Kaunas: Šviesa, 2003. – 124 p.
2. González, Mario O. (1992). Classical Complex Analysis. CRC Press. p. 19. ISBN .
3. Vidmantas Pekarskas. Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. 1 dalis. – Kaunas: Technologija, 2005. – 25 p.

Vikiteka: Modulis – vaizdinė ir garsinė medžiaga