Trapecija

Trapecija (gr. τραπέζιον – staliukas) – keturkampis, kurio dvi priešingosios kraštinės lygiagrečios, o kitos dvi kraštinės gali būti nelygiagrečios. Lygiagrečios kraštinės vadinamos trapecijos pagrindais, kitos dvi kraštinės – šoninėmis kraštinėmis. 1 pav. pavaizduotos trapecijos kraštinės BC ir AD – trapecijos pagrindai, AB ir CD – trapecijos šoninės kraštinės. Iš taškų B ir C nuleisti statmenys BK ir CL vadinami trapecijos aukštine. atkarpa, kuri jungia šoninių kraštinių vidurio taškus, vadinama trapecijos vidurio linija. 1 pav. pavaizduotos trapecijos vidurio linija yra EF.

1 pav. Įvairiakraštė trapecija

Aplink trapeciją apibrėžti apskritimą galima tik tada, jeigu ji yra lygiašonė.

Trapecijų rūšys

Lygiašonė trapecija

2 pav. Lygiašonė trapecija

Trapecija, kurios šoninės kraštinės lygios, vadinama lygiašonė. 2 pav. pavaizduota trapecija ABCD yra lygiašonė, nes AB=CD. Lygiašonės trapecijos kampai prie kiekvieno iš pagrindų yra lygūs:${\displaystyle \angle A=\angle D,\angle B=\angle C}$

${\displaystyle \angle A+\angle B=180}$ laipsnių. ${\displaystyle \angle C+\angle D=180}$ laipsnių.

Jeigu į lygiašonę trapeciją galima įbrėžti apskritimą, tai jos aukštinė h yra lygi pagrindų a ir b geometriniam vidurkiui:

${\displaystyle h={\sqrt {ab}}}$

Stačioji trapecija

Trapecija, kurios viena šoninė kraštinė statmena pagrindui, vadinama stačiąja. 3 pav. pavaizduota stačioji trapecija ABCD, kurios ${\displaystyle BA\perp AD}$

3 pav. Stačioji trapecija

Trapecijos savybės

• Keturkampis yra trapecija tada ir tik tada, jei yra bent viena pora greta esančių kampų, kurių suma lygi 180°.
• Kita būtina ir pakankama sąlyga yra jog įstrižainės dalija viena kitą tuo pačiu santykiu. Šis santykis toks pats kaip ir tarp pagrindų ilgių.
• Linija, išvesta per šoninių kraštinių vidurio taškus (vidurinė linija), yra lygiagreti pagrindams. Jos ilgis yra pagrindų ilgių aritmetinis vidurkis.

Trapecijos elementų žymėjimas

4 pav. pavaizduoti visi pagrindiniai trapecijos elementai. AB=b, DC=a – trapecijos ABCD pagrindai; DA=d, BC=c – trapecijos šoninės kraštinės; GH=m – trapecijos vidurio linija; EF – atkarpa, einanti per įstrižainių susikirtimo tašką ir lygiagreti pagrindams; AK=h – aukštinė; BD=${\displaystyle d_{1}}$,AC=${\displaystyle d_{2}}$ – trapecijos įstrižainės; φ – kampas tarp įstrižainių.

4 pav. Trapecijos elementai

Trapecijos vidurio linija, perimetras, plotas

Pastaba: Visos žemiau pateiktos formulės remiasi 4 pav. žymėjimais (žr. Trapecijos elementų žymėjimas).
Trapecijos vidurinė linija lygiagreti pagrindams ir lygi jų sumos pusei:

${\displaystyle m\|\;a}$, ${\displaystyle m\|\;b}$; ${\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}\;}$

Trapecijos įstrižainių radimas:

${\displaystyle d_{1}={\sqrt {ab+{\frac {d^{2}a-c^{2}b}{a-b}}}}\;}$; ${\displaystyle d_{2}={\sqrt {ab+{\frac {c^{2}a-d^{2}b}{a-b}}}}\;}$

Atkarpos lygiagrečios pagrindams ir einančios per įstrižainių susikirtimo tašką radimas:

${\displaystyle EF={\frac {2ab}{a+b}}\;}$

Trapecijos perimetras ir pusperimetris:

${\displaystyle P=a+b+c+d\;}$; ${\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}}$

Trapecijos plotas lygus vidurinės linijos ir aukštinės sandaugai:

${\displaystyle S=mh\;}$,

Trapecijos plotas lygus jos pagrindų sumos pusei ir aukštinės sandaugai.

${\displaystyle S={\frac {(a+b)}{2}}h}$,

čia a ir b – lygiagrečių kraštinių ilgiai, h – aukštinė. Kitaip tariant (žr. savybes) jis lygus vidurinės linijos ir aukštinės ilgių sandaugai.

Jei aukštinė nežinoma, tačiau žinomi visų kraštinių ilgiai, trapecijos plotą galima rasti pagal formulę

${\displaystyle S={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {a+b}{a-b}}\ {\sqrt {a-b+c+d}}\ {\sqrt {a-b-c+d}}\ {\sqrt {a-b+c-d}}\ {\sqrt {-a+b+c+d}},}$

čia a, b – lygiagrečių kraštinių ilgiai, c, d – kitų dviejų kraštinių ilgiai.

Trapecijos plotas lygus jos įstrižainių ir sinuso kampo tarp jų pusei:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\;}$${\displaystyle d_{1}d_{2}\;}$${\displaystyle \sin \varphi \;}$

Šaltiniai

1. Petras Vaškas. Trapecija. Visuotinė lietuvių enciklopedija, T. XXIV (Tolj–Veni). – Vilnius: Mokslo ir enciklopedijų leidybos institutas, 2015
2. Birutė Gražulevičienė. Mokyklinės matematikos žinynas. – Vilnius: Leidybos centras, 1997. – 84 p.
3. Vaidotas Mockus. Geometrijos žinynas moksleiviams. – Šiauliai: Šiaulių pedagoginis institutas, 1996. – 71 p.
4. Vaidotas Mockus, Algidė Jocaitė. Mokyklinio geometrijos kurso kartojimo medžiaga. – Šiauliai: V.Mockaus įmonė, 2002. – 100 p.
5. Autorių kolektyvas. Matematika. Vadovėlis XI-XII klasei. Suaugusiųjų ir savarankiškam mokymuisi. – Kaunas: Šviesa, 2007. – 189 p.

Nuorodos

• Eric W. Weisstein, Trapezoid, MathWorld. (angl.)

Vikižodynas