Polinė koordinačių sistema

Polinė koordinačių sistema – dvimatė koordinačių sistema, kurioje kiekvienas taškas plokštumoje yra apibrėžiamas atstumu nuo vieno nustatyto taško ir kampu su nustatyta kryptimi.

Taškai polinėje koordinačių sistemoje su poliumi O ir poline ašimi L. Žalia spalva pažymėtas taškas su spinduline koordinate 3 ir kampine koordinate 60 laipsnių, arba (3,60°). Mėlynai, taškas (4,210°).

Nustatytas taškas yra vadinamas poliumi, o spindulys nuo poliaus iki nustatytos krypties yra vadinamas poline ašimi.

Istorija

Nors ir yra šaltinių, kad kampo ir spindulio sąvokos buvo žinomos ir naudojamos nuo antikos laikų, apie polinės koordinačių sistemos sampratą pradėta kalbėti tik XVII a., išradus analizinę geometriją. Pirmieji kampo ir atstumo sąryšio panaudojimai buvo navigacijoje ir dangaus skliauto tyrimuose. Astronomas Hiparchas (190-120 m. pr. m. e.) sukūrė trigonometrinę lentelę, kurioje stygos ilgis buvo nurodytas kaip kampo funkcija. Taip pat yra šaltinių, jog polinės koordinatės naudotos žvaigždžių padėčiai nustatyti. Pirmajame savo traktate apie spirales Archimedas aprašo vadinamąją - funkciją, kurios spindulys, priklauso nuo kampo.

Perėjimas nuo polinių prie Dekarto koordinačių

Schema, rodanti ryšį tarp polinių ir Dekarto koordinačių.

Dvi polinės koordinatės r ir θ gali būti transformuotos į Dekarto x ir y koordinates naudojant trigonometrines funkcijas – sinusą ir kosinusą:

${\displaystyle x=r\cos \theta \,}$

${\displaystyle y=r\sin \theta \,}$

Dekarto koordinatės x ir y gali būti transformuotos į polines r ir θ su r ≥ 0 ir θ intervale (−π, π]:

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\quad }$

${\displaystyle \theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{jei }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{jei }}x<0{\mbox{ ir }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{jei }}x<0{\mbox{ ir }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{jei }}x=0{\mbox{ ir }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{jei }}x=0{\mbox{ ir }}y<0\\0&{\mbox{jei }}x=0{\mbox{ ir }}y=0\end{cases}}}$

Polinės kreivių lygtys

Apskritimas

Apskritimas su lygtimi r(θ) = 1

Bendroji lygtis apskritimui su centru taške (r₀, ${\displaystyle \varphi }$) ir spinduliu a yra

${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}.\,}$

„Rožė“

Polinė „rožė“, kurios lygtis yra r(θ) = 2 sin 4θ

„Rožė“ yra garsi matematinė kreivė, kuri atrodo, kaip gėlė su vainiklapiais ir gali būti išreikšta paprasta poline lygtimi,

${\displaystyle r(\theta )=a\cos(k\theta +\varphi _{0})\,}$

Archimedo spiralė

Archimedo spiralės lygtis: r(θ) = θ / 2π for 0 < θ < 6π

Archimedo spiralė yra garsi spiralė, kurią atrado Archimedas. Jos lygtis

${\displaystyle r(\theta )=a+b\theta .\,}$

Kompleksiniai skaičiai

Kompleksinis skaičius z, nubrėžtas kompleksinėje plokštumoje.

Iliustracija, kaip atvaizduojamas kompleksinis skaičius naudojant Eulerio formulę.

Kiekvienas kompleksinis skaičius gali būti atvaizduojamas kaip taškas kompleksinėje plokštumoje. Jo įprastinės Dekarto koordinatės gali būti pakeistos polinėmis. Kompleksinio skaičiaus z stačiakampė forma:

${\displaystyle z=x+iy\,}$

kur i yra menamasis vienetas arba gali būti užrašytas kitaip, trigonometrinėje formoje, naudojant tokį sąryšį:

${\displaystyle z=r\cdot (\cos \theta +i\sin \theta )}$

iš čia pereinama prie polinės formos arba rodiklinės kompleksinio skaičiaus formos:

${\displaystyle z=re^{i\theta }\,}$

kur e yra Eulerio skaičius. (Atkreipti dėmesį, jog visoms eksponentėms daroma prielaida, jog θ yra išreiškiamas radianais.)

Rodiklinė kompleksinio skaičiaus forma yra patogi atliekant kompleksinių skaičių daugybą arba dalybą.

Šaltiniai

1. polinės koordinatės. Visuotinė lietuvių enciklopedija (tikrinta 2023-11-07).
2. Vidmantas Pekarskas. Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. 1 dalis. – Kaunas: Technologija, 2005. – 36 p.
3. Vidmantas Pekarskas. Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. 1 dalis. – Kaunas: Technologija, 2005. – 40 p.