Eulerio formulė

Oilerio formule vadinama formulė ${\displaystyle {\mathsf {e}}^{i\phi }=\cos(\phi )+i\sin(\phi )}$, čia i – menamasis vienetas, o ${\displaystyle \phi }$ - kompleksinio skaičiaus argumentas.

Įdomu pastebėti, kad ${\displaystyle |{\mathsf {e}}^{i\phi }|=\cos ^{2}(\phi )+\sin ^{2}(\phi )=1}$.

Iš formulės išplaukia, kad ${\displaystyle {\mathsf {e}}^{i\phi }={\mathsf {e}}^{i(\phi +2\pi )}=\cos(\phi +2\pi )+i\sin(\phi +2\pi )}$.

Pasiūlė Leonardas Oileris.

Įrodymas

Pasižymime ${\displaystyle z=\cos x+i\sin x}$, randame šio dydžio diferencialą:

${\displaystyle {\mathsf {d}}z=(-\sin x+i\cos x){\mathsf {d}}x=(i\cos x+i^{2}\sin x){\mathsf {d}}x=iz{\mathsf {d}}x}$

Lygtį galime perrašyti taip:

${\displaystyle {\frac {{\mathsf {d}}z}{z}}=i\;{\mathsf {d}}x}$

Abi puses suintegruojame:

${\displaystyle \int {\frac {{\mathsf {d}}z}{z}}=i\int {\mathsf {d}}x}$

${\displaystyle \ln z=ix+C\quad }$

Konstantos ${\displaystyle C}$ vertę gauname paėmę ${\displaystyle x=0}$, tada ${\displaystyle z=1}$, ${\displaystyle C=\ln 1=0}$, taigi:

${\displaystyle \ln z=ix\quad }$.

Iš čia:

${\displaystyle {\mathsf {e}}^{ix}=z}$

${\displaystyle {\mathsf {e}}^{ix}=\cos x+i\sin x}$

Formulę taip pat galima įrodyti išskleidus abi lygybės puses Teiloro eilutėmis.

Šaltiniai

1. Euler's Formula for Complex Numbers. Math is fun advanced. [1]
2. Algirdas Matulis. Kompleksiniai skaičiai ir funkcijos. – Vilnius: Ciklonas, 2003. – 8 p.