Hadamardo vartai

Hadmardo vartai (angl. Hadamard gate) – tai kvantiniai vartai naudojami kvantiniame kompiuteryje, kilę iš Hadamardo transformacijos, skirti, kubitą pervesti į superpozicijos būseną. Hadamardo kvantiniai vartai neturių klasikinių vartų analogų. Hadamardo vartai gali operuoti tik ant vieno kubito, be to kiekvienam kubitui reikia savo atskirų Hadamardo vartų. Kubitas, kurio būsena yra |1>, pereidamas per Hadamardo vartus persikelia į būseną:

${\displaystyle H|1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle -{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle =|-\rangle }$.

O |0> pereidamas per Hadamardo vartus pereina į superpozicijos būseną, kuri užrašoma šitaip:

${\displaystyle H|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle =|+\rangle }$.

Šiose būsenose kubitai pereidami dar kartą per Hadamardo vartus grįžta į pradinę būseną:

${\displaystyle H({\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle -{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle )={\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )-{\frac {1}{2}}(|0\rangle -|1\rangle )=|1\rangle }$;

${\displaystyle H({\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )+{\frac {1}{\sqrt {2}}}({\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle -{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle )=|0\rangle }$.

Skaičiavimai su Hadamardo vartais

Rezultatas po 2 kubitų perėjimo per Hadamardo vartus

Kartais vietoje 0 rašomas 1, o vietoje 1 rašomas -1:

${\displaystyle |0\rangle =|1\rangle }$;

${\displaystyle |1\rangle =|-1\rangle }$.

Mes taip ir žymėsime. Pirmas (pvz.: 1) nuo viršaus kubitas rašomas pirmu, o antras (pvz:. -1) nuo viršaus antru:

${\displaystyle |1\rangle |-1\rangle =|1,-1\rangle }$.

Kai 2 kubitai yra perėję Hadamardo vartus, tai jie turės 4 reikšmes:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1\rangle +|-1\rangle ){\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1\rangle -|-1\rangle )={\frac {1}{2}}(|1,1\rangle +|-1,1\rangle -|1,-1\rangle -|-1,-1\rangle )}$.

Jei iš paskos šiuos 2 kubitus seka dar vienas kubitas H|-1>, tai bendras kubitų užrašymas atrodys taip:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(|1,-1\rangle +|-1,1\rangle -|1,-1\rangle -|-1,-1\rangle ){\frac {1}{\sqrt {2}}}(|1\rangle -|-1\rangle )=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2^{3}}}}(|1,-1,1\rangle +|-1,1,1\rangle -|1,-1,1\rangle -|-1,-1,1\rangle -|1,-1,-1\rangle -|-1,1,-1\rangle +|1,-1,-1\rangle +}$

${\displaystyle +|-1,-1,-1\rangle )}$.

Reikšmės

${\displaystyle \langle \phi |\;{\bigg (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigg )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle .}$

${\displaystyle (|\psi \rangle \langle \phi |)|v\rangle =|\psi \rangle \langle \phi |v\rangle .}$

${\displaystyle H|\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(X|\psi \rangle +Z|\psi \rangle )}$.

${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )}$.

${\displaystyle H|\psi \rangle =H{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )=|0\rangle }$.

${\displaystyle H|\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(X{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )+Z{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle ))=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(({\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )+{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle ))=|0\rangle }$.

Kur X yra kvantiniai NOT vartai, o Z yra fazės vartai.

Jei

${\displaystyle |\psi \rangle =a|00\rangle +b|10\rangle +c|01\rangle +d|11\rangle }$,

tai

${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}$,

Pavyzdžiui,

${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle ){\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )={\frac {1}{2}}(|00\rangle +|10\rangle -|01\rangle -|11\rangle )}$.

Tada,

${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =4\cdot ({\frac {1}{2}})^{2}=1.}$

${\displaystyle \langle \psi |x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}},}$

kur n, kubitų skaičius. Pavyzdžiui, jei n=4, tai:

${\displaystyle \langle \psi |x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2^{4}}}}={\frac {1}{\sqrt {16}}}={\frac {1}{4}}}$.

O jei n=2, tai:

${\displaystyle \langle \psi |x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {4}}}={\frac {1}{2}}}$.

${\displaystyle \langle x|x\rangle =1}$.

${\displaystyle \langle x|y\rangle =\langle y|x\rangle =0}$.

Kur naudojami Hadamardo vartai?

Hadamardo vartai naudojami:

• Doičo-Džozo algoritme,
• Groverio algoritme.

Kiti kvantiniai vartai

• Hadamardo vartai
• CNOT vartai
• Kvantiniai NOT vartai
• Fazės vartai
• Tofolio vartai

Nuorodos

• Paaiškinimas kodėl 1 (arba 0) praėjęs du kartus per Hadamardo vartus vėl tampa 1 (arba 0). Video.