Ermito matrica

Ermito matrica – kompleksinė kvadratinė matrica, kuri lygi transponuotai kompleksiškai jungtinei (tai yra ${\displaystyle i}$ eilutės ir ${\displaystyle j}$ stulpelio elementai yra lygūs kompleksiškai jungtiniams ${\displaystyle j}$ eilutės ${\displaystyle i}$ stulpelio elementams, visiems ${\displaystyle i}$ ir ${\displaystyle j}$):

${\displaystyle a_{ij}={\overline {a_{ji}}}}$ arba ${\displaystyle A={\overline {A^{\text{T}}}}}$.

Ermito matricos gali būti traktuojamos kaip realiųjų simetrinių matricų kompleksinis plėtinys.

Jei matricos ${\displaystyle A}$ kompleksiškai jungtinė ir transponuota matrica žymima ${\displaystyle A^{\text{H}}}$, tada ermito matrica užrašoma kaip

${\displaystyle A=A^{\text{H}}.}$

Ermito matricos pavadintos vardu 19 amžiaus prancūzų matematiko , kuris 1855 m. parodė, kad šio pavidalo matricos kaip ir realios simetrinės matricos turi realias tikrines vertes ir tikrinius vektorius.

Pavyzdys

Tokio pavidalo matrica yra ermito matrica:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&2+i&4\\2-i&3&i\\4&-i&1\\\end{bmatrix}}}$

Ermito matricos dažnai naudojamos teorinėje fizikoje ir kvantinėje mechanikoje (Paulio matricos, ).

Savybės

• Diagonalieji elementai visada realieji skaičiai, nes jie turi būti kompleksiniai jungtiniai sau patiems.
• Šalia diagonalės esantys kompleksiniai elementai negali būti simetriški. Realiųjų skaičių simetrinė diagonalės atžvilgiu matrica visada yra ermito matrica.
• Kiekviena ermito matrica yra .
• Matematinė teigia, kad kiekviena ermito matrica gali būti suvesta į diagonaliąją formą naudojant unitariąją matricą. Gauta diagonalioji matrica turės tik realiuosius diagonalinius elementus. Iš to išplaukia, kad ermito matricos tikrinės vertės yra realieji skaičiai, o tikriniai vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi (ortogonalūs). Net kartotinių tikrinių verčių atveju jas atitinkantys tikriniai vektoriai (tarpusavyje nebūtinai ortogonalūs) bus visada ortogonalūs likusiems tikriniams vektoriams.
• Dviejų ermito matricų suma yra ermito matrica taip pat.
• Ermito matricos atvirkštinė matrica taip pat yra ermito matrica.
• Dviejų ermito matricų ${\displaystyle A}$ ir ${\displaystyle B}$ sandauga yra ermito matrica tik jei ${\displaystyle 1=AB=BA}$.
• Bet kokiam kompleksiniam vektoriui ${\displaystyle v}$ sandauga ${\displaystyle v^{\text{H}}Av}$ yra realusis skaičius, kadangi ${\displaystyle v^{\text{H}}Av=(v^{\text{H}}Av)^{\text{H}}}$. Ši savybė ypač svarbi kvantinėje mechanikoje, kai ermito matricos yra operatoriai, kuriems veikiant gaunamos realiaisiais skaičiais aprašomos sistemos savybės (pvz., sukinys).
• Kvadratinės ir jai kompleksiškai jungtinės transponuotos matricų suma ${\displaystyle (C+C^{\text{H}})}$ yra ermito matrica.
• Kvadratinės matricos ir jai kompleksiškai jungtinės transponuotos matricos skirtumas ${\displaystyle (C-C^{\text{H}})}$ yra asimetrinė ermito matrica. Iš to seka, kad dviejų ermito matricų komutatorius yra asimetrinė ermito matrica.
• Bet kokia kvadratinė matrica ${\displaystyle C}$ gali būti išskleista ermito ${\displaystyle A}$ ir asimetrinės ermito ${\displaystyle B}$ matricų suma:

${\displaystyle C=A+B\quad {\mbox{su}}\quad A={\frac {1}{2}}(C+C^{\text{H}})\quad {\mbox{ir}}\quad B={\frac {1}{2}}(C-C^{\text{H}})}$

• Ermito matricos determinantas yra realusis skaičius:

${\displaystyle \det(A)=\det(A^{\mathrm {T} })\quad \Rightarrow \quad \det(A^{\text{H}})=\det(A)^{*}}$,

Taigi ${\displaystyle A=A^{\text{H}}\quad \Rightarrow \quad \det(A)=\det(A)^{*}.}$

Nuorodos

• Visualizing Hermitian Matrix as An Ellipse with Dr. Geo 2017-08-29 iš Wayback Machine projekto., by Chao-Kuei Hung from Chaoyang University, gives a more geometric explanation.