Determinantas

Šis straipsnis - apie matematinę funkciją. Apie rašto elementą žiūrėkite determinatyvas, o apie kalbos dalį -

Kvadratinės matricos determinantas – algebrinė suma visų galimų sandaugų, gautų parenkant po vieną dauginamąjį iš kiekvienos matricos eilutės taip, kad dauginamieji priklausytų skirtingiems stulpeliams. Determinantai svarbūs integriniame ir diferenciniame skaičiavime, geometrijoje, kitose matematikos srityse.

Determinanto ${\displaystyle n\times n}$ formulė yra tokia:

${\displaystyle det(A)=|A|={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{n!}(-1)^{p(i)}\cdot a_{1k_{i1}}a_{2k_{i2}}\ldots a_{nk_{in}}}$

kur

• ${\displaystyle |A|}$ ir ${\displaystyle det(A)}$ – determinanto žymėjimas.

Antros eilės determinantas

2×2 matrica

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$

turi determinantą

${\displaystyle \det(A)=ad-bc\,}$.

Determinantas taikomas spręsti sistemą su dviem nežinomaisiais:

${\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x+a_{12}y=c_{1},\\a_{21}x+a_{22}y=c_{2}.\end{cases}}}$

Surandamas determinantas:

${\displaystyle D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$

Jei determinantas nelygus nuliui, tai sistema turi tik vieną sprendinį:

${\displaystyle x={\frac {D_{x}}{D}},}$

${\displaystyle y={\frac {D_{y}}{D}},}$

kur

${\displaystyle D_{x}={\begin{vmatrix}c_{1}&a_{12}\\c_{2}&a_{22}\end{vmatrix}},}$

${\displaystyle D_{y}={\begin{vmatrix}a_{11}&c_{1}\\a_{21}&c_{2}\end{vmatrix}}.}$

Formulės vadinamos Kramerio formulėmis. Jei D=0, bet ${\displaystyle D_{x}}$ arba ${\displaystyle D_{y}}$ nelygu 0, tai sistema sprendinių neturi (yra nesuderinta). Jei ${\displaystyle D=D_{x}=D_{y}=0}$, tai sistema turi be galo daug sprendinių (yra neapibrėžta).

Pavyzdys, kaip galima išspręsti sistemą surandant determinantą. Sistema yra tokia:

${\displaystyle {\begin{cases}x+2y=8,\\3x-y=3.\end{cases}}}$

Sistemos determinantas yra

${\displaystyle D={\begin{vmatrix}1&2\\3&-1\end{vmatrix}}=1\cdot (-1)-3\cdot 2=-7;}$

Toliau į determinanto pirmą stulpelį įstačius dešines lygties puses, randamas

${\displaystyle D_{x}={\begin{vmatrix}8&2\\3&-1\end{vmatrix}}=-8-6=-14;}$

Panašiai randamas

${\displaystyle D_{y}={\begin{vmatrix}1&8\\3&3\end{vmatrix}}=3-24=-21;}$

${\displaystyle x=D_{x}/D=-14/(-7)=2;}$ ${\displaystyle y=D_{y}/D=-21/(-7)=3.}$

Determinantas 3 ${\displaystyle \times }$ 3

sudedami

atimami

${\displaystyle detA=|A|={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=}$

${\displaystyle =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}}$

Didesnėms matricoms determinanto skaičiavimo formulė yra kitokia.

Sistemų sprendimas taikant Kramerio formules

Pagal Kramerio formulę galima surasti sistemos:

${\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=c_{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=c_{3}\end{cases}}}$

sprendinius:

${\displaystyle x_{1}={\frac {D_{1}}{D}},}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {D_{2}}{D}},}$

${\displaystyle x_{3}={\frac {D_{3}}{D}},}$

kur

${\displaystyle D_{1}={\begin{vmatrix}c_{1}&a_{12}&a_{13}\\c_{2}&a_{22}&a_{23}\\c_{3}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}},}$

${\displaystyle D_{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&c_{1}&a_{13}\\a_{21}&c_{2}&a_{23}\\a_{31}&c_{3}&a_{33}\end{vmatrix}},}$

${\displaystyle D_{3}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&c_{1}\\a_{21}&a_{22}&c_{2}\\a_{31}&a_{32}&c_{3}\end{vmatrix}}.}$

Tokiu būdu randami sistemos sprendiniai ir didesnėms matricoms.

• Remdamiesi Kramerio formulėmis, išspręskime tiesinių lygčių sistemą

${\displaystyle {\begin{cases}2x_{1}-3x_{2}-x_{3}=7,\\3x_{1}+4x_{2}+6x_{3}=3,\\-3x_{1}-x_{2}+-3x_{3}=5.\end{cases}}}$

${\displaystyle D=detA={\begin{vmatrix}2&1&-1\\3&4&6\\1&0&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}3&1&-1\\-3&4&6\\0&0&1\end{vmatrix}}=(-1)^{3+3}{\begin{vmatrix}3&1\\-3&4\end{vmatrix}}=15;}$

Kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio (trečias stulpelis nesikeičia).

${\displaystyle D_{1}={\begin{vmatrix}0&1&-1\\-5&4&6\\1&0&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}0&0&-1\\-5&10&6\\1&1&1\end{vmatrix}}=(-1)\cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}-5&10\\1&1\end{vmatrix}}=15;}$

Kur trečias stulpelis buvo pridėtas prie antro stulpelio.

${\displaystyle D_{2}={\begin{vmatrix}2&0&-1\\3&-5&6\\1&1&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}0&0&-1\\15&-5&6\\3&1&1\end{vmatrix}}=(-1)\cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}15&-5\\3&1\end{vmatrix}}=-30;}$

kur trečias stulpelis buvo padaugintas iš 2 ir pridėtas prie pirmojo stulpelio.

${\displaystyle D_{3}={\begin{vmatrix}2&1&0\\3&4&-5\\1&0&1\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&1&0\\8&4&-5\\0&0&1\end{vmatrix}}=(-1)^{3+3}{\begin{vmatrix}2&1\\8&4\end{vmatrix}}=0;}$

kur trečias stuleplis buvo padaugintas iš (-1) ir pridėtas prie pirmo stulpelio.

${\displaystyle x_{1}={\frac {D_{1}}{detA}}={\frac {15}{15}}=1;\qquad x_{2}={\frac {D_{2}}{detA}}={\frac {-30}{15}}=-2;\qquad x_{3}={\frac {D_{3}}{detA}}={\frac {0}{15}}=0.}$

Lygčių sprendimas atvirkštinės matricos metodu

Determinanto radimas naudojant adjunktą:

${\displaystyle detA={\begin{vmatrix}1&0&1\\0&0&2\\-1&3&1\end{vmatrix}}=2\cdot (-1)^{2+3}{\begin{vmatrix}1&0\\-1&3\end{vmatrix}}=-6\not =0;}$

kur 2 ir 3 virš (-1) yra antra eilutė ir trečias stulpelis.

${\displaystyle A_{11}=(-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}0&2\\3&1\end{vmatrix}}=-6;\qquad A_{12}=(-1)^{1+2}{\begin{vmatrix}0&2\\-1&1\end{vmatrix}}=-2;}$

${\displaystyle A_{13}=(-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}0&0\\-1&3\end{vmatrix}}=0;\qquad A_{21}=(-1)^{2+1}{\begin{vmatrix}0&1\\3&1\end{vmatrix}}=3;}$

${\displaystyle A_{22}=(-1)^{2+2}{\begin{vmatrix}1&1\\-1&1\end{vmatrix}}=2;\qquad A_{23}=(-1)^{2+3}{\begin{vmatrix}1&0\\-1&3\end{vmatrix}}=-3;}$

${\displaystyle A_{31}=(-1)^{3+1}{\begin{vmatrix}0&1\\0&2\end{vmatrix}}=0;\qquad A_{32}=(-1)^{3+2}{\begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix}}=-2;}$

${\displaystyle A_{33}=(-1)^{3+3}{\begin{vmatrix}1&0\\0&0\end{vmatrix}}=0;}$

Tiesinių lygčių sistemos sprendimo metodas vadinamas atvirkštinės matricos metodu arba matricų metodu:

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{detA}}\cdot {\begin{vmatrix}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{vmatrix}}={\frac {1}{-6}}\cdot {\begin{vmatrix}-6&3&0\\-2&2&-2\\0&-3&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&0\\{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}\\0&{\frac {1}{2}}&0\end{vmatrix}}.}$

Išspręsime sistemą

${\displaystyle {\begin{cases}3x_{1}+5x_{2}-2x_{3}=2,\\x_{1}-3x_{2}+2x_{3}=10,\\6x_{1}+7x_{2}-3x_{3}=5\end{cases}}}$

matricų metodu.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}3&5&-2\\1&-3&2\\6&7&-3\end{bmatrix}};\qquad B={\begin{bmatrix}2\\10\\5\end{bmatrix}};\qquad X={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}};}$

${\displaystyle X=A^{-1}\cdot B;\qquad A^{-1}={\frac {1}{detA}}\cdot {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{bmatrix}};}$

${\displaystyle detA={\begin{vmatrix}3&5&-2\\1&-3&2\\6&7&-3\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}0&14&-8\\1&-3&2\\0&25&-15\end{vmatrix}}=(-1)^{2+1}{\begin{vmatrix}14&-8\\25&-15\end{vmatrix}}=-2\cdot 5{\begin{vmatrix}7&-4\\5&-3\end{vmatrix}}=10\not =0;}$ Kur antrą eilutę padauginome iš (-3) ir pridėjome prie pirmos eilutės, ir antrą eilutę padauginome iš (-6) ir pridėjome prie trečios eilutės.

${\displaystyle A_{11}=(-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}-3&2\\7&-3\end{vmatrix}}=-5;\qquad A_{21}=(-1)^{2+1}{\begin{vmatrix}5&-2\\7&-3\end{vmatrix}}=1;\qquad A_{31}={\begin{vmatrix}5&-2\\-3&2\end{vmatrix}}=4;}$

${\displaystyle A_{12}=-{\begin{vmatrix}1&2\\6&-3\end{vmatrix}}=15;\qquad A_{22}=(-1)^{2+2}{\begin{vmatrix}3&-2\\6&-3\end{vmatrix}}=3;\qquad A_{32}=-{\begin{vmatrix}3&-2\\1&2\end{vmatrix}}=-8;}$

${\displaystyle A_{13}={\begin{vmatrix}1&-3\\6&7\end{vmatrix}}=25;\qquad A_{23}=(-1)^{2+3}{\begin{vmatrix}3&5\\6&7\end{vmatrix}}=9;\qquad A_{33}={\begin{vmatrix}3&5\\1&-3\end{vmatrix}}=-14;}$

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{10}}{\begin{bmatrix}-5&1&4\\15&3&-8\\25&9&-14\end{bmatrix}};}$

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}-5&1&4\\15&3&-8\\25&9&-14\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\10\\5\end{pmatrix}}={\frac {1}{10}}{\begin{pmatrix}20\\20\\70\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\2\\7\end{pmatrix}};}$

${\displaystyle x_{1}=2;}$ ${\displaystyle x_{2}=2;}$ ${\displaystyle x_{3}=7.}$

Lygčių sistemos sprendimas Gauso metodu

Pavyzdžiui, turime lygčių sistemą:

${\displaystyle {\begin{cases}3x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=-8,\\2x_{1}+7x_{2}-5x_{3}=26,\\x_{1}-3x_{2}+8x_{3}=-25.\end{cases}}}$

Išplėstinės matricos A pirmoje eilutėje parašome trečios eilutės koeficientus, o pirmą ir antrą eilutes nustumiame žemyn:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\3&-2&4&|-8\\2&7&-5&|26\end{bmatrix}}=}$

Šios pertvarkytos išplėstinės matricos ${\displaystyle A^{~}}$ pirmą eilutę dauginame iš (-3) ir pridedame prie antros eilutės ir taip pat pirmą eilutę dauginame iš (-2) ir pridedame prie trečios eilutės ir tada gauname tokią išplėstinę matricą:

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\0&7&-20&|67\\0&13&-21&|76\end{bmatrix}}=}$

Toliau matricos antrą eilutę dauginame iš (-2) ir pridedame prie trečios eilutės:

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\0&7&-20&|67\\0&-1&19&|-58\end{bmatrix}}=}$

Toliau trečią eilutę dauginame iš 7 ir pridedame prie antros eilutės ir gauname:

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\0&0&113&|-339\\0&-1&19&|-58\end{bmatrix}}=}$

Toliau antrą ir trečią eilutes sukeičiame vietomis:

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}1&-3&8&|-25\\0&-1&19&|-58\\0&0&113&|-339\end{bmatrix}}.}$

Gauta matrica apibūdina lygčių sistemą

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}-3x_{2}+8x_{3}=-25,\\-x_{2}+19x_{3}=-58,\\113x_{3}=-339.\end{cases}}}$

Iš paskutinės lygties ${\displaystyle x_{3}={\frac {-339}{113}}=-3.}$

Iš antros lygties surandame ${\displaystyle x_{2}=58+19x_{3}=58-57=1.}$

Iš pirmos lygties randame ${\displaystyle x_{1}=-25+3x_{2}-8x_{3}=-25+3+24=2.}$

Lygčių sistema turi vieną sprendinį (2; 1; -3).

Ketvirtos eilės determinantas

Ketvirtos eilės determinantas gali būti paverstas trečios eilės determinantu, pavyzdžiui:

${\displaystyle D={\begin{vmatrix}3&1&-1&2\\-5&1&3&-4\\2&0&1&-1\\1&-5&3&-3\end{vmatrix}}=(-1)^{3+1}\cdot 2\cdot {\begin{vmatrix}1&-1&2\\1&3&-4\\-5&3&-3\end{vmatrix}}+(-1)^{3+3}\cdot 1\cdot {\begin{vmatrix}3&1&2\\-5&1&-4\\1&-5&-3\end{vmatrix}}+}$

${\displaystyle +(-1)^{3+4}\cdot (-1)\cdot {\begin{vmatrix}3&1&-1\\-5&1&3\\1&-5&3\end{vmatrix}}=2\cdot 16-40+48=40.}$ Trečios eilutės antras stulpelis čia lygus 0.

Ketvirtos eilės determinantui naudojamas Minoras (M) tai yra prieš kiekvieną sudėtį yra išbraukiama eilutė ir kiekvienas stulpelis, kur yra skaičius toje eilutėje, arba atvirkščiai jei pasirenkamas pirma stulpelis.

Šaltiniai

1. determinantas(parengė Alfonsas Matuliauskas). Visuotinė lietuvių enciklopedija (tikrinta 2024-02-03).