Diskrečioji Furjė transformacija

Diskrečioji Furjė transformacija (sutrumpintai DFT) – , skirta baigtinio ilgio diskrečių signalų Furjė analizei.

Ryšys tarp tolydžios ir diskrečios Furjė transformacijos. Kairysis stulpelis: Tolydi funkcija (viršuje) ir jos Furjė transformacija (apačioje). Vidurinis kairysis stulpelis: Periodinė pradinės funkcijos suma (viršuje). Furjė transformacija (apačioje) yra nulis, išskyrus diskrečius taškus. Atvirkštinė transformacija yra sinusoidžių suma – Furjė eilutė. Vidurinis dešinysis stulpelis: Pradinė funkcija yra diskretizuojama (viršuje). Jos Furjė transformacija (apačioje) yra periodinė pradinės transformacijos diskretaus laiko Furjė transformacijos (DFFT) suma. Dešinysis stulpelis: DFT (apačioje) suskaičiuoja ėminius tolydžiosios DFTF. DFT (viršuje) yra periodinė pradinių ėminių suma. suskaičiuoja vieną DFT ciklą ir jos atvirkštinė yra DFT atvirkštinės ciklas.

Diskrečioji Furjė transformacija seką (signalą) iš N kompleksinių skaičių x₀, …, x_N−1 transformuoja į kompleksinių skaičių seką X₀, …, X_N−1 pagal formulę:

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-{\frac {2\pi i}{N}}kn}\quad \quad k=0,\dots ,N-1.}$

Čia e yra natūrinio logaritmo pagrindas, ${\displaystyle i\,}$ – menamasis vienetas, o π – pi. Transformacija kartais žymima ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, pavyzdžiui, ${\displaystyle \mathbf {X} ={\mathcal {F}}\left\{\mathbf {x} \right\}}$ arba ${\displaystyle {\mathcal {F}}\left(\mathbf {x} \right)}$ or ${\displaystyle {\mathcal {F}}\mathbf {x} }$.

Apibrėžiama ir atvirkštinė diskrečioji Furjė transformacija (sutrumpintai ADFT):

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}e^{{\frac {2\pi i}{N}}kn}\quad \quad n=0,\dots ,N-1.}$

Šaltiniai

1. Wong, M. W. (2011-06-01). Discrete Fourier Analysis. Basel: Birkhäuser. ISBN .