Deriniai

Deriniai kombinatorikoje – baigtinės objektų aibės, turinčios n elementų, junginius iš k ${\displaystyle (1\leq k\leq n)}$ elementų. Jeigu elementai junginyje nesikartoja ir elementų išdėstymo tvarka nėra svarbi, t. y., sukeitus elementus vietomis, gaunamas tas pats junginys.

Derinių skaičius žymimas ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ ir randamas pagal formulę:

${\displaystyle C_{n}^{k}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdot ...\cdot (n-(k-1))}{k!}}={\frac {A_{n}^{k}}{P_{k}}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}},}$ kur ${\displaystyle 1\leq k\leq n.}$

Pavyzdžiui:

${\displaystyle C_{8}^{5}={\frac {8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4}{5!}}={\frac {8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}=56,}$

Ši formulė dažniausiai taikoma kai k ir n nedideli skaičiai.

Derinių skaičių patogu rasti ir pagal kitą formulę:

${\displaystyle C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$, kur n! – skaičiaus n faktorialas.

Nesunku įsitikinti, kad derinių skaičius lygus gretinių iš n elementų po k elementų skaičiui padalintam iš kėlinių skaičiaus: ${\displaystyle C_{n}^{k}={\frac {A_{n}^{k}}{P_{k}}}}$.

Pavyzdžiui, kiek skirtingų startinių penketukų galima sudaryti iš 10 krepšininkų, galima rasti pagal derinių formulę: Čia n = 10, o k = 5, todėl iš viso galima sudaryti ${\displaystyle C_{10}^{5}={\frac {10!}{5!(10-5)!}}=252}$ skirtingų startinių penketukų. Jeigu krepšininkus į startinį penketuką atrinksime kita tvarka, tai vis tiek gausime visiškai tą patį penketuką, todėl pavyzdyje aprašyti junginiai yra deriniai.

Deriniams teisingos lygybės:

• ${\displaystyle C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}}$, kur ${\displaystyle 1\leq k\leq n.}$
• ${\displaystyle C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}}$

Pagal paskutiniąją lygybę (dar vadinama Paskalio taisykle) yra sudaromas Paskalio trikampis, kuris naudojamas gauti dvinario ${\displaystyle a+b}$ n-tojo laipsnio koeficientus.

Šaltiniai

1. Vidmantas Pekarskas. Matematika: kurso kartojimo medžiaga. – Kaunas: Šviesa, 2004. – 225 p.
2. Janina Šulčienė. Ar moki matematiką. – Kaunas: Šviesa, 2003. – 148 p.