Kalmano filtras

Šį straipsnį gali būti gana sunku suprasti be papildomų informacijos šaltinių. Galite perrašyti dėstomus teiginius plačiau ir suteikiant daugiau konteksto.

Kalmano filtras – rekursinis filtras, kuris nuspėja tiesinio dinaminio proceso būseną pagal matavimus, kurie gaunami su . Jis pavadintas garbei , kuris 1960 m. paskelbė straipsnį apie šį filtrą.

Kalmano filtro veikimas

Kalmano filtro darbą kiekviename žingsnyje galima suskirstyti į dvi fazes: prognozavimo ir korekcijos.

Prognozavimas

Prognozuojama būsena nustatoma kaip ankstesnės būsenų kaitą nusakančios matricos ir ankstesnės pakoreguotos prognozuojamos būsenos sandauga, pridedant reakciją į įėjimus nusakančios matricos ir įėjimo sandaugą:

${\displaystyle {\hat {\textbf {x}}}_{k|k-1}={\textbf {F}}_{k}{\hat {\textbf {x}}}_{k-1|k-1}+{\textbf {B}}_{k-1}{\textbf {u}}_{k-1}.}$

Prognozuojama būsenos nustatoma iš ankstesnės pakoreguotos prognozuojamos kovariacijos, ankstesnės būsenų kaitą nusakančios matricos ir triukšmo kovariacijos:

${\displaystyle {\textbf {P}}_{k|k-1}={\textbf {F}}_{k}{\textbf {P}}_{k-1|k-1}{\textbf {F}}_{k}^{\text{T}}+{\textbf {Q}}_{k-1}.}$

Korekcija

Matavimo paklaida randama kaip skirtumas tarp faktinės matavimo reikšmės ir numatytos matavimo reikšmės (matricos, nusakančios matavimo modelį, ir prognozuojamos būsenos sandaugos):

${\displaystyle {\tilde {\textbf {y}}}_{k}={\textbf {z}}_{k}-{\textbf {H}}_{k}{\hat {\textbf {x}}}_{k|k-1}.}$

Paklaidos kovariacija gaunama iš matavimo modelį nusakančios matricos, prognozuojamos būsenos kovariacijos ir triukšmo kovariacijos:

${\displaystyle {\textbf {S}}_{k}={\textbf {H}}_{k}{\textbf {P}}_{k|k-1}{\textbf {H}}_{k}^{\text{T}}+{\textbf {R}}_{k}.}$

Optimalus stiprinimo koeficientas nustatomas iš prognozuojamos būsenos, matavimo modelio ir paklaidos kovariacijos:

${\displaystyle {\textbf {K}}_{k}={\textbf {P}}_{k|k-1}{\textbf {H}}_{k}^{\text{T}}{\textbf {S}}_{k}^{-1}.}$

Pakoreguota prognozuojama būsena apskaičiuojama pridedant prie prognozuojamos būsenos optimaliai sustiprintą paklaidą:

${\displaystyle {\hat {\textbf {x}}}_{k|k}={\hat {\textbf {x}}}_{k|k-1}+{\textbf {K}}_{k}{\tilde {\textbf {y}}}_{k}.}$

Pakoreguota prognozuojama kovariacija gaunama iš atitinkamų matmenų , optimalaus stiprinimo, matavimo modelio ir prognozuojamos kovariacijos:

${\displaystyle {\textbf {P}}_{k|k}=(I-{\textbf {K}}_{k}{\textbf {H}}_{k}){\textbf {P}}_{k|k-1}.}$

Papildomam skaitymui

• Rudolph Emil Kalman, „A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems“ // „Transactions of the ASME--Journal of Basic Engineering“, 1960, t. 82, Series D, 35-45 psl. [1]
• Greg Welch, Gary Bishop, „An Introduction to the Kalman Filter“, Šiaurės Karolinos universitetas, Kompiuterių mokslo katedra, techninė ataskaita TR 95-041 [2]