Gretiniai

Kombinatorikoje gretiniai – baigtinės objektų aibės, turinčios n elementų, junginius iš k ${\displaystyle (1\leq k\leq n)}$. Jeigu elementai junginyje nesikartoja ir elementų išdėstymo tvarka yra svarbi, t. y., sukeitus elementus vietomis, gaunamas naujas junginys.

Gretinių skaičius žymimas ${\displaystyle A_{n}^{k}}$ (skaitoma „gretinys iš n elementų po k“) ir randamas pagal formulę:

${\displaystyle A_{n}^{k}=n(n-1)\cdot ...\cdot (n-(k-1))}$, kur ${\displaystyle 1\leq k\leq n.}$

Gretinių skaičių patogu rasti ir pagal kitą formulę:

${\displaystyle A_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!}}}$, kur n! – skaičiaus n faktorialas.

Pavyzdžiui, kiek skirtingų trispalvių vėliavų galima pasiūti iš 5 skirtingų spalvų audeklo, galima rasti pagal gretinių formulę: Čia n = 5, o k = 3, todėl iš viso galima pasiūti ${\displaystyle A_{5}^{3}={\frac {5!}{(5-3)!}}=60}$ skirtingų trispalvių vėliavų. Jeigu audeklus sukeisime vietomis, tai gausime visiškai kitą vėliavą, todėl pavyzdyje aprašyti junginiai yra gretiniai.

Gretiniai, sudaryti iš visų duotosios baigtinės objektų aibės elementų, vadinami kėliniais.

Kartotiniai gretiniai

Junginius iš m elementų, kai tuos elementus galime rinktis iš aibės, turinčios n elementų, nekreipdami dėmesio, kad elementas jau buvo pasirinktas, vadiname kartotiniais gretiniais.

Kartotinių gretinių skaičius žymimas ${\displaystyle {\bar {A}}_{n}^{m}}$ ir randamas pagal formulę:

${\displaystyle {\bar {A}}_{n}^{m}=n^{m}}$

Pavyzdžiui, kiek galima sudaryti penkiaženklių skaičių iš skaitmenų 2, 5, 9? Akivaizdu, kad kiekvieną skaitmenį galima rinktis n = 3 būdų, todėl iš viso galima sudaryti ${\displaystyle {\bar {A}}_{3}^{5}=3^{5}=243}$ skaičių.

Šaltiniai

1. Janina Šulčienė. Ar moki matematiką. – Kaunas: Šviesa, 2003. – 144 p.