Diskriminantas

Algebroje diskriminantas – skaičius, kuris gaunamas iš realių ar kompleksinių skaičių polinominės lygties koeficientų ir su kuriuo galima nustatyti lygties sprendinius. Jei diskriminantas yra lygus nuliui, lygtis turi 1 sprendinį; jei diskriminantas didesnis už 0, lygtis turi daugiau nei 1 sprendinį; jei diskriminantas yra neigiamas ir neturi daugiau koeficientų, lygtis realių sprendinių neturi (jos sprendiniai yra kompleksiniai skaičiai).

Kvadratinės lygties diskriminantas

Kvadratinės lygties ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ diskriminantas yra ${\displaystyle D=b^{2}-4ac;}$

Kvadratinės lygties ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ sprendiniai yra:

• kai D>0, ${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}}$;
• kai D=0, ${\displaystyle x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}}}$;
• kai D<0, lygtis ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ sprendinių realiųjų skaičių aibėje neturi. Sprendiniai yra iš kompleksinių skaičių aibės.

Pavyzdys:

Lygties ${\displaystyle y=x^{2}-5x+6}$ diskriminantas yra

${\displaystyle D=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1}$;

Tada lygties ${\displaystyle x^{2}-5x+6=0}$ sprendiniai yra

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-(-5)\pm {\sqrt {1}}}{2\cdot 1}}=3;2}$;

Todėl ${\displaystyle x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)=0}$, kai x=3 arba kai x=2.

Padalinus abi kvadratinės lygties ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ puses iš ${\displaystyle a(a\neq 0)}$ ir pažymėję koeficientą prie ${\displaystyle x}$ raide ${\displaystyle p}$, o laisvąjį narį ${\displaystyle q}$ gaunama ekvivalenti lygtis, kuriai galioja Vijeto teorema:

${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$

Kubinės lygties diskriminantas

Kubinės lygties ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ diskriminantas

${\displaystyle \Delta =b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd.}$

Šaltiniai

1. Autorių kolektyvas. Matematika 11. I dalis. – Vilnius: TEV, 2002. – 51 p.