Variacija (matematika)

Variaciaja (lot. variatio - kitimas) – diferencialo sąvokos apibendrinimas; funkcijos pokyčio tiesinė pagrindinė dalis. Jei funkcijos F(x) (x – abstrakčios erdvės elementas) pokytis yra ΔF(x) = А(x+h)-F(x) = L(x, h)+β(x, h), tai L(x, h) = δF(x) vadinama funkcijos F(x) variacija; L(x, h) tiesiškai priklauso nuo h, β(x, h) artėja į nulį greičiau negu h. Naudojimosi variacija sritys: , , sprendimas. Variacija apskaičiuojama dažniausiai pagal formulę

${\displaystyle \delta F(x)={\frac {d}{d\alpha }}F(x+\alpha h){\Bigg |}_{\alpha =0}}$

čia α – skaičius.

Variacijos sąvoką apie 1760 m. pradėjo vartoti Žozefas Lui Lagranžas spręsdamas uždavinius, kuriais ieškoma funkcionalo minimalioji arba maksimalioji reikšmė, šiandien tokie uždaviniai sudaro matematikos sritį – .

Pavyzdys

Funkcija

${\displaystyle F(x)=\int \limits _{a}^{b}f(t,x,x')dx}$

jos variacija

${\displaystyle \delta F(x)={\frac {d}{d\alpha }}\int \limits _{a}^{b}f{\Big (}t,x(t)+\alpha h(t),x'(t)+\alpha h'(t){\Big )}dt{\Bigg |}_{\alpha =0}=\int \limits _{a}^{b}{\Big [}f_{x}'{\Big (}t,x(t),x'(t){\Big )}h(t)+f_{x'}'{\Big (}t,x(t),x'(t){\Big )}h'(t){\Big ]}dt}$

Variaciniai metodai

Variaciniai metodai apytiksliai diferencinių lygčių kraštinių uždavinių sprendimo metodai: kraštinis uždavinys pakeičiamas ekvivalenčiu variaciniu uždaviniu. Pirmasis variacinis metodas buvo . XX a. pr. sukurti Rico ir Galiorkino metodai. Dažnai naudojamasi apibendrintais variaciniais skirtuminiais metodais.

Pvz., kraštinis uždavinys pakeičiamas tokiu variaciniu uždaviniu: rasti funkciją u(x, y), su kuria funkcija įgyja mažiausią reikšmę (minimumą).

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=f(x,y),\ (x,y)\in D,\ u|_{\Gamma }=0}$

(Γ – srities D kontūras)

${\displaystyle J(u)=\iint \limits _{D}{\Bigg [}{\Bigg (}{\frac {\partial u}{\partial x}}{\Bigg )}^{2}+{\Bigg (}{\frac {\partial u}{\partial y}}{\Bigg )}^{2}+2fu{\Bigg ]}dxdy}$

Galima imti ir kitokias funkcijos J(u) išraiškas. Variacinis uždavinys sprendžiamas vienu tiesioginių metodų, pvz., . Dažniausiai sprendinys užrašomas apytiksle formule

${\displaystyle u_{n}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\varphi _{i}(x,y)}$

čia φ_i – žinomos funkcijos, a_i – nežinomi koeficientai, randami sprendžiant n eilės algebrinių lygčių sistemą.

Šaltiniai

1. variacija. Visuotinė lietuvių enciklopedija (tikrinta 2024-01-30).