Vejerštraso funkcija

Vejerštraso funkcija matematikoje – pavyzdys realaus argumento funkcijos, tolydinės bet kuriame taške, tačiau nediferencijuojamos.

Vejerštraso funkcijos grafikas intervale [−2, 2]. Grafikas turi fraktalinių savybių: išdidinę bet kurį jo gabaliuką (raudonas apskritimas) gauname kreivę, panašią į visą grafiką.

Apibrėžimas

Vejerštraso straipsnyje pateikiama tokio pavidalo išraiška:

${\displaystyle w(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x),}$

kur ${\displaystyle 0<a<1}$, ${\displaystyle b}$ yra teigiamas nelyginis skaičius, ir

${\displaystyle ab>1+{\frac {3}{2}}\pi .}$

Minimali vertė, tenkinanti šias sąlygas yra ${\displaystyle b=7}$. Šią funkciją, kartu su įrodymu, kad ji nediferencijuojama, pateikė 1872 m. liepos 18 d.

Sukūrimo istorija

1806 m. Andrė Mari Amperas suformulavo teiginį, kad bet kuri funkcija turėtų būti diferencijuojama, išskyrus tik tam tikrus ypatingus ar įzoliuotus taškus. XIX amžiaus pirmoje pusėje buvo mėginama Ampero hipotezę įrodyti bet kokioms tolydinėms funkcijoms. 1861 m. Bernardas Rymanas savo paskaitose pateikė tokį funkcijos pavyzdį:

${\displaystyle r(x)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin n^{2}x}{n^{2}}}}$;

Nors jos diferencijuojamumas sunkiai analizuojamas, 1870 m. parodė, kad vis tik ta funkcija turi išvestinę kai kuriuose taškuose. 1872 m. Vejerštrasas sukūrė savo nediferencijuojamos funkcijos ${\displaystyle w}$ versiją kartu su griežtu nediferencijuojamumo įrodymu. 1930 metais dar paprastesnės nediferencijuojamos funkcijos pavyzdį pateikė van der Vardenas:

${\displaystyle v(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\{10^{n}x\}}{10^{n}}}}$,

kur riestiniai skliausteliai reiškia trupmeninės dalies išskyrimo operaciją.

Šaltiniai

1. 560 puslapyje 1872 metais Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (Monthly Reports of the Royal Prussian Academy of Science in Berlin), yra trumpa pastaba, kad liepos 18, „Hr. Weierstrass las über stetige Funktionen ohne bestimmte Differentialquotienten“ (Mr. Vejerštrasas Mokslų akademijoje perskaitė pranešimą apie tolydines funkcijas, neturinčias išvestinės). Tačiau tuo metu, Vejerštraso straipsnis nebuvo atspausdintas Monatsberichte.
2. Karl Weierstrass, "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen, " (Apie tolydines realaus argumento funkcija neturinčias išvestinės): Königlich Preussichen Akademie der Wissenschaften, Mathematische Werke von Karl Weierstrass (Berlin, Germany: Mayer & Mueller, 1895), vol. 2, pages 71–74.;
3. See also: Karl Weierstrass, Abhandlungen aus der Functionenlehre [Traktatas apie funkcijų teoriją] (Berlin, Germany: Julius Springer, 1886), page 97.
4. Ampère, A.M. // École Polytechnique, 6 (1806), fasc. 13.
5. Van der Waerden B.L. // Math. Zeitschr., 32 (1930), p. 474–475.

Nuorodos

• Niekur nediferencijuojama tolydinė funkcija.
• Nemonotoninė tolydinė funkcija.
• Johan Thim. . Master Thesis Lulea Univ of Technology 2003. Suarchyvuotas originalas 2017-02-22. Nuoroda tikrinta 28 July 2006.
• Vejerštraso funkcija kompleksinėje plokštumoje 2009-09-24 iš Wayback Machine projekto. Gražus fraktalas.
• SpringerLink – Journal of Fourier Analysis and Applications, Volume 16, Number 1 Simple Proofs of Nowhere-Differentiability for Weierstrass’s Function and Cases of Slow Growth
• Weierstrass functions: continuous but not differentiable anywhere