Sinusų teorema

Sinusų teorema – trigonometrinė teorema, teigianti, kad plokščiojo trikampio kraštinių ilgių ir prieš jas esančių kampų sinusų santykis yra lygus.

Jei trikampio kraštinių ilgiai yra a, b ir c, o kampai priešingi šioms kraštinėms yra A, B ir C, tai sinusų teorema yra tokia:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R}$

čia R – apskritimo, apibrėžto apie tą trikampį, spindulys.

Paprastai sinusų teorema naudojama tada, kai žinomi du trikampio kampai ir bent vienos kraštinės ilgis arba žinomos dvi kraštinės ir vienas iš kampų.

Įrodymas

Trikampis su kampais A, B, C

Tarkime trikampis ABC turi kraštinės a, b ir c bei kampus A, B ir C. Tegul h yra aukštinė, išvesta nuo kampo C iki kraštinės c. Tada:

${\displaystyle \sin A={\frac {h}{b}}}$

${\displaystyle \sin B={\frac {h}{a}}}$

Iš to seka

${\displaystyle h=b\,(\sin A)=a\,(\sin B)}$

ir

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}.}$

Atliekant analogiškus veiksmus su aukštine tarp kampo A ir kraštinės a, gaunama:

${\displaystyle {\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}.}$

Taip pat skaitykite

• Trianguliacija
• Kosinusų teorema

Šaltiniai

1. Sinusų teorema. Visuotinė lietuvių enciklopedija (tikrinta 2023-02-08).