Pustaisyklingis briaunainis

Pustaisyklingiai briaunainiai:
Archimedo kūnai, prizmės ir antiprizmės

Pagal originalų apibrėžimą, pustaisyklingis briaunainis – toks briaunainis, kurio sienos yra taisyklingieji daugiakampiai, o viršūnės yra tranzityvios (pagal briaunainiui būdingą simetrijos grupę). Pustaisyklingiai briaunainiai pagal tranzityvumą yra paprasčiausi tolygieji briaunainiai, nes kiti pasižymi įvairesniu tranzityvumu (kvazitaisyklingieji – be viršūnių, dar yra tranzityvios briaunos, bet sienos netranzityvios; taisyklingieji – tranzityvūs visi trys elementai: viršūnės, sienos ir briaunos). Šis apibrėžimas remiasi labiau apibendrintu 1900 metais publikuotu matematiko Toroldo Goseto (Thorold Gosset) pustaisyklingių politopų apibrėžimu, bei 1973 metų Kokseterio (H.S.M. Coxeter) apibrėžimu.

Pustaisyklingiais briaunainiais yra laikomi:

• Trylika Archimedo kūnų;
• Begalinė aibė iškilų prizmių;
• Begalinė aibė iškilų antiprizmių (pastarųjų pustaisyklingę prigimtį aprašė dar Johanas Kepleris).

Pustaisyklingį briaunainį visiškai nusako jo viršūnės konfigūracijos planas, kitaip tariant, į viršūnę sueinančių daugiakampių sąrašas. Pavyzdžiui, užrašymas 3.5.3.5 nusako (ikosidodekaedrą), kurio kiekvienoje viršūnėje pakaitomis sueina po du taisyklingus trikampius ir penkiakampius; o 3.3.3.5 reiškia penkiakampę antiprizmę. Šie briaunainiai neretai dar vadinami tiesiog „briaunainiai tranzityviomis viršūnėmis“.

Po to, kai Gosetas paskelbė pustaisyklingio briaunainio sąvoką ir apibrėžimą, šio termino taikymas nebuvo nuoseklus, ypač skirtingai jis buvo taikomas daugiamačių politopų teorijoje. Kokseteris perėmė Goseto apibrėžimą, bet jį pritaikė visai tolygiųjų briaunainių klasei, o pustaisyklingiams liko tik mažiausiai simetriškų briaunainių poaibis, kurio figūroms būdingas tiktai viršūnės tranzityvumas.

Nors įvedus apjungiančią tolygiųjų briaunainių klasę ir buvo išspręsta didelė dalis įvairių su briaunainių klasifikavimu susijusių problemų, vis dar iškyla svarstymai, kaip skirstyti briaunainius į klases. Nepaisant visko, šiuo metu plačiausiai pripažįstama tolygiųjų briaunainių klasė, kurią sudaro trys poklasiai: taisyklingieji briaunainiai (jei yra tranzityvios viršūnės, sienos ir briaunos), kvazitaisyklingieji (jei yra tranzityvios viršūnės ir briaunos, bet sienos netranzityvios) ir pustaisyklingiai (jei tranzityvios vien viršūnės, o sienos ir briaunos netranzityvios).

Išnašos

1. Thorold Gosset On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions, Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
2. Coxeter, H.S.M., Regular polytopes, 3rd Edn, Dover (1973)
3. Elte, E. L. (1912), The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces, Groningen: University of Groningen 

Nuorodos

• Semiregular Polyhedron
• George Hart: Archimedean Semi-regular Polyhedra
• David Darling: semi-regular polyhedron 2006-12-09 iš Wayback Machine projekto.
• polyhedra.mathmos.net: Semi-Regular Polyhedron
• Encyclopaedia of Mathematics: Semi-regular polyhedra, uniform polyhedra, Archimedean solids