Polius (kompleksinė analizė)

Polius – kompleksinio kintamojo funkcijos ${\displaystyle f(z)}$ (tai yra taškas, kuriame ji elgiasi kaip ir funkcija ${\displaystyle {\frac {1}{z^{n}}}}$ prie z = 0) ${\displaystyle z_{0}}$, kuriame ${\displaystyle \lim _{z\to {z_{0}}}f(z)=\infty }$.

Gama funkcijos ${\displaystyle \Gamma (z)}$ modulis. Kairėje, (Re z<0) funkcija turi be galo daug polių. Dešinėje (Re z>0) polių nėra, nors funkcija greitai didėja.

Poliaus kriterijai

• Taškas ${\displaystyle z_{0}}$ yra polius tik tada, kai funkcijos ${\displaystyle f(z)}$ skleidinys Lorano eilute taško ${\displaystyle z_{0}}$ aplinkoje (išskyrus patį tašką ${\displaystyle z_{0}}$) turi baigtinį skaičių narių su neigiamu laipsniu:

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f_{k}}(z-z_{0})^{k}=P(z)+f_{-n}(z-z_{0})^{-n}+\ldots +f_{-1}(z-z_{0})^{-1}}$,

čia ${\displaystyle P(z)}$ – reguliarioji Lorano eilutės dalis (tik nariai su neneigiamais laipsniais). Jei ${\displaystyle f_{-n}\neq \ 0}$, tuomet taškas ${\displaystyle z_{0}}$ vadinamas ${\displaystyle n}$ eilės poliumi. Jei ${\displaystyle n=1}$, jį vadiname pirmos eilės poliumi.

• Taškas ${\displaystyle z_{0}}$ yra ${\displaystyle k}$ eilės polius tik tuomet, kai ${\displaystyle \lim _{z\to {z_{0}}}f(z)(z-z_{0})^{k-1}=\infty }$, bet ${\displaystyle \lim _{z\to {z_{0}}}f(z)(z-z_{0})^{k}\neq \infty }$
• Taškas ${\displaystyle z_{0}}$ yra ${\displaystyle k}$ eilės polius tik tada, kai jis yra funkcijos ${\displaystyle F(z)={\frac {1}{f(z)}}}$ ${\displaystyle k}$ eilės nulis.

Pavyzdžiai

• Funkcija

${\displaystyle f(z)={\frac {3}{z}}}$

turi pirmos eilės polių taške ${\displaystyle z=0}$.

• Funkcija

${\displaystyle f(z)={\frac {z+2}{(z-5)^{2}(z+7)^{3}}}}$

turi antros eilės polių taške ${\displaystyle z=5}$ ir trečios eilės polių taške ${\displaystyle z=-7}$.

• Funkcija

${\displaystyle f(z)={\frac {z-4}{e^{z}-1}}}$

turi pirmos eilės polius taškuose ${\displaystyle z\,=\,2\pi ni{\text{ ,čia }}n\,=\,\dots ,\,-1,\,0,\,1,\,\dots .}$

• Funkcija

${\displaystyle f(z)=z}$

turi pirmos eilės polių begalybėje.

Šaltiniai

1. „Pole -- from Wolfram MathWorld“. mathworld.wolfram.com. Nuoroda tikrinta 2024-02-03.