Pirminio skaičiaus teorema

Pirminio skaičiaus teorema – skaičių teorijos teorema, aprašanti asimptotinį pirminių skaičių pasiskirstymą tarp natūraliųjų skaičių. Teorema, naudodama logaritmus, apytiksliai apibūdina, kaip toli vidutiniškai yra vienas nuo kito dideli pirminiai skaičiai:

Pirminių skaičių teoremos iliustracija: raudonai atvaizduotas pirminių skaičių skaičius mažesnis arba lygus už x, žalia spalva - aproksimacija naudojant ${\displaystyle {\frac {x}{\ln {x}}}}$, mėlyna spalva - apytikslis skaičiavimas naudojant logaritminį integralą ${\displaystyle \operatorname {Li} (x)}$.

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1,}$

čia ${\displaystyle \pi (x)=\sum _{p\leqslant x}1}$ - funkcija, kuri nurodo, kiek yra pirminių skaičių ne didesnių už realųjį teigiamą skaičių x. O trupmena ${\displaystyle {\frac {x}{\ln(x)}}}$ apytiksliai išreiškia funkcijos ${\displaystyle \pi (x)}$ didėjimą, tai parodo .

Istorija

Ryšį tarp pirminių skaičių ir logaritmų 1792 m. nuspėjo 15-metis Karlas Frydrichas Gausas m., o nepriklausomai nuo jo - Adrien-Marie Legendre 1798 m., nors įrodymas buvo pateiktas tik 1896 m. Jacques Hadamard ir Charles-Jean de La Vallée Poussin (nepriklausomai vienas nuo kito).

Šaltiniai

1. K.Bulota, P.Survila. Algebra ir skaičių teorija. II dalis. – Vilnius: Mokslas, 1990. – 56 p.
2. . vartiklis.lt. 2009-11-16. Suarchyvuotas originalas 2023-10-29. Nuoroda tikrinta 2023-10-29.