Pagrindinė algebros teorema

Pagrindinė algebros teorema teigia, kad kompleksinių skaičių (laukas) yra algebriškai uždaras. Tai taip pat ekvivalentu formuluotei, kad kiekvienas natūraliojo laipsnio n daugianaris su kompleksiniais koeficientais turi nors vieną kompleksinę šaknį. Pastarasis teiginys teisingas ir polinomams su realiaisiais koeficientais, kadangi realusis skaičius gali būti laikomas kompleksiniu skaičiumi, kurio menamoji dalis lygi nuliui. Ši teorema gali būti formuluojama ir dar kitaip – kiekvienas n-tojo laipsnio polinomas su kompleksiniais koeficientais turi n kompleksinių šaknų.

1799 m. šią teoremą pirmasis suformulavo ir įrodė Karlas Frydrichas Gausas. Tiesa, jis nenaudojo sąvokos „kompleksinis skaičius“. Gausas teigė, kad kiekvieną polinomą galima išskaidyti daugikliais – pirmojo ir antrojo laipsnio polinomų sandauga (faktorizuoti).

Nors šiais laikais tai svarbi algebros teorema, tačiau ji nebėra pagrindinė. Pagrindine ji buvo pavadinta tais laikais, kai svarbiausiu algebros uždaviniu buvo algebrinių lygčių sprendinių paieška.

Griežtai algebrinio šios teoremos įrodymo nėra. Įrodymuose paprastai naudojamos kitų matematikos sričių sąvokos (pvz., aibių teorijos arba topologijos ir kt.).

Reikia pažymėti, kad ši teorema nėra konstruktyvi – ji nenusako, kaip surasti polinomo šaknis, iš jos tik seka, kiek tokių šaknų yra.

Šaltiniai

1. algebros pagrindinė teorema. Visuotinė lietuvių enciklopedija (tikrinta 2024-02-02).