Kvadratinė šaknis

Matematikoje skaičiaus x kvadratinė šaknis – skaičius, kurį padauginus iš savęs (pakėlus kvadratu) gaunamas x. Kvadratinė šaknis žymima šaknies ženklu (√). Pavyzdžiui, ${\displaystyle {\sqrt {16}}=4}$, nes 4²=16 ir ${\displaystyle {\sqrt {1}}=1}$, nes 1² = 1.

Kvadratinės šaknies simbolis

Taip pat terminas kvadratinė šaknis dar reiškia ir kvadratinės lygties šaknį, pvz., algebrinės lygties ${\displaystyle x^{2}=25}$ „šaknys“ yra ${\displaystyle x={\sqrt {25}}=\pm 5}$.

Neigiamų skaičių kvadratinės šaknys yra . Kiekvienas kompleksinis skaičius, išskyrus nulį, turi po dvi kvadratines šaknis. Pavyzdžiui, skaičius -1 turi dvi kvadratines šaknis ${\displaystyle i}$ ir ${\displaystyle -i}$. Šie skaičiai yra menamųjų skaičių pagrindas (menamasis vienetas).

Svarbus skaičius yra kvadratinė šaknis iš 2, tai yra iracionalusis skaičius, kurio apytikslė reikšmė 1,41421. Trečiojo laipsnio šaknis vadinama kubine šaknimi.

Kvadratinės šaknies funkcija

Kvadratinės šaknies funkcijos ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ grafikas yra pusė pakreiptos parabolės vertikalia kryptimi.

Kvadratinės šaknies funkcijos realiųjų skaičių aibėje apibrėžimo ir reikšmių sritis – neneigiamų realiųjų skaičių aibė arba intervalas ${\displaystyle \left[0,\infty \right)}$.

Kvadratinės šaknies funkcija argumentui x užrašoma taip:

${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$

Kvadratinės šaknies funkcija yra tolydi visiems neneigiamiems x ir diferencijuojama visiems teigiamiems x. Jei f žymi kvadratinės šaknies funkciją, tada jos išvestinė yra:

${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.}$

Savybės

Šios kvadratinės šaknies funkcijos savybės galioja visiems realiesiems skaičiams x ir y:

1. ${\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}}$
2. ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|,\ \forall x\in \mathbb {R} }$
3. ${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$
4. ${\displaystyle {\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}}$ (kai y > 0)
5. ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=|x|}$

Skaičių nuo 1 iki 50 apytikslės kvadratinės šaknys

${\displaystyle {\sqrt {1\ }}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {11}}\approx 3,\!3166}$	${\displaystyle {\sqrt {21}}\approx 4,\!5826}$	${\displaystyle {\sqrt {31}}\approx 5,\!5678}$	${\displaystyle {\sqrt {41}}\approx 6,\!4031}$
${\displaystyle {\sqrt {2\ }}\approx 1,\!4142}$	${\displaystyle {\sqrt {12}}\approx 3,\!4641}$	${\displaystyle {\sqrt {22}}\approx 4,\!6904}$	${\displaystyle {\sqrt {32}}\approx 5,\!6569}$	${\displaystyle {\sqrt {42}}\approx 6,\!4807}$
${\displaystyle {\sqrt {3\ }}\approx 1,\!7321}$	${\displaystyle {\sqrt {13}}\approx 3,\!6056}$	${\displaystyle {\sqrt {23}}\approx 4,\!7958}$	${\displaystyle {\sqrt {33}}\approx 5,\!7446}$	${\displaystyle {\sqrt {43}}\approx 6,\!5574}$
${\displaystyle {\sqrt {4\ }}=2}$	${\displaystyle {\sqrt {14}}\approx 3,\!7417}$	${\displaystyle {\sqrt {24}}\approx 4,\!8990}$	${\displaystyle {\sqrt {34}}\approx 5,\!8310}$	${\displaystyle {\sqrt {44}}\approx 6,\!6332}$
${\displaystyle {\sqrt {5\ }}\approx 2,\!2361}$	${\displaystyle {\sqrt {15}}\approx 3,\!8730}$	${\displaystyle {\sqrt {25}}=5}$	${\displaystyle {\sqrt {35}}\approx 5,\!9161}$	${\displaystyle {\sqrt {45}}\approx 6,\!7082}$
${\displaystyle {\sqrt {6\ }}\approx 2,\!4495}$	${\displaystyle {\sqrt {16}}=4}$	${\displaystyle {\sqrt {26}}\approx 5,\!0990}$	${\displaystyle {\sqrt {36}}=6}$	${\displaystyle {\sqrt {46}}\approx 6,\!7823}$
${\displaystyle {\sqrt {7\ }}\approx 2,\!6458}$	${\displaystyle {\sqrt {17}}\approx 4,\!1231}$	${\displaystyle {\sqrt {27}}\approx 5,\!1962}$	${\displaystyle {\sqrt {37}}\approx 6,\!0828}$	${\displaystyle {\sqrt {47}}\approx 6,\!8557}$
${\displaystyle {\sqrt {8\ }}\approx 2,\!8284}$	${\displaystyle {\sqrt {18}}\approx 4,\!2426}$	${\displaystyle {\sqrt {28}}\approx 5,\!2915}$	${\displaystyle {\sqrt {38}}\approx 6,\!1644}$	${\displaystyle {\sqrt {48}}\approx 6,\!9282}$
${\displaystyle {\sqrt {9\ }}=3}$	${\displaystyle {\sqrt {19}}\approx 4,\!3589}$	${\displaystyle {\sqrt {29}}\approx 5,\!3852}$	${\displaystyle {\sqrt {39}}\approx 6,\!2450}$	${\displaystyle {\sqrt {49}}=7}$
${\displaystyle {\sqrt {10\ }}\approx 3,\!1623}$	${\displaystyle {\sqrt {20\ }}\approx 4,\!4721}$	${\displaystyle {\sqrt {30\ }}\approx 5,\!4772}$	${\displaystyle {\sqrt {40\ }}\approx 6,\!3246}$	${\displaystyle {\sqrt {50\ }}\approx 7,\!0710}$

Šaltiniai

1. „Compendium of Mathematical Symbols“. Math Vault (amerikiečių anglų). 2020-03-01. Nuoroda tikrinta 2020-08-28.

Nuorodos

• Eric W. Weisstein, Square Root, MathWorld. (angl.)