Kompleksiniai skaičiai

Kompleksinis skaičius – dviejų realiųjų skaičių pora z:

Kompleksinis skaičius gali būti vaizduojamas kaip skaičių a ir b pora, kuri sudaro vektorių kompleksinėje plokštumoje „Re“ – realioji ašis, „Im“ – menamoji ašis, o i yra menamasis vienetas.

${\displaystyle z=(a,b)=a+b\cdot i=\operatorname {Re} (z)+i\operatorname {Im} (z)}$,

kur a ir b – realieji skaičiai, o ${\displaystyle i=(0,1)}$ – menamasis vienetas tenkinantis sąlygą:

${\displaystyle i^{2}=-1}$

Dažnai klaidingai sakoma, jog ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ tačiau tai ne visai tikslu, nes yra dvi reikšmės, kurias pakėlę kvadratu gauname -1: i ir -i.

Skaičius a vadinamas realiąja z dalimi, žymima a = Re(z), o skaičius b vadinamas menamąja z dalimi, žymima b = Im(z) (iš prancūzų kalbos reele - „realusis“, imaginaire - „menamasis“).

Kompleksinių skaičių aibė žymima C:

${\displaystyle \mathbb {C} =\{a+b\cdot i;a,b\in \mathbb {R} \}}$

Kompleksinių skaičių teoriją ir jų geometrinę interpretaciją faktiškai sukūrė vokiečių mokslininkas Karlas Frydrichas Gausas.

Aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais

Sudėtis

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)\cdot i=(a+c,b+d)\,}$

Atimtis

${\displaystyle (a,b)-(c,d)=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)\cdot i=(a-c,b-d)}$,

Daugyba

${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)\cdot i=(ac-bd,ad+bc)\,}$

• ${\displaystyle a\cdot (1,0)=(a,0)\cdot (1,0)=(a,0)=a}$
• ${\displaystyle b\cdot (0,1)=(b,0)\cdot (0,1)=(b+0)\cdot (0+i)=0+bi=(0,b)=bi}$

Dalyba

${\displaystyle {\frac {(a,b)}{(c,d)}}={\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {(bc-ad)}{c^{2}+d^{2}}}\cdot i=\left({\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}},{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}\right),}$

• ${\displaystyle {\frac {(a,b)}{(a,b)}}={\frac {a+bi}{a+bi}}=1+0i=(1,0)=1}$.
• ${\displaystyle {\frac {1}{(c,d)}}={\frac {(1,0)}{(c,d)}}={\frac {1+0i}{c+di}}={\frac {c}{c^{2}+d^{2}}}+\left({\frac {-d}{c^{2}+d^{2}}}\right)i=\left({\frac {c}{c^{2}+d^{2}}},{\frac {-d}{c^{2}+d^{2}}}\right)}$.

Kompleksinių skaičių laukas

Formaliai kompleksinis skaičius gali būti apibrėžtas kaip išrikiuota dviejų realių skaičių (a, b) pora su įvestomis operacijomis:

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\,}$

${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad).\,}$

Taip apibrėžti kompleksiniai skaičiai sudaro lauką, kompleksinių skaičių lauką, žymimą C (laukas matematikoje yra algebrinė struktūra, kurioje apibrėžtos sudėties, atimties, daugybos ir dalybos operacijos, turinčios tam tikras algebrines savybes. Pvz., realieji skaičiai yra laukas).

Realusis skaičius a yra sutapatinamas su kompleksiniu skaičiumi (a, 0), ir tuo būdu realiųjų skaičių laukas R tampa C dalimi. Menamasis vienetas i apibrėžiamas kaip kompleksinis skaičius (0, 1), kuris tenkina:

${\displaystyle (a,b)=a\cdot (1,0)+b\cdot (0,1)=a+bi\quad {\text{ir}}\quad i^{2}=(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)=-1.}$

Lauke C mes turime:

• vienetinį elementą sudėčiai („nulį“): (0, 0)
• vienetinį elementą daugybai („vienetą“): (1, 0)
• atvirkštinį elementą sudėties operacijai (a,b): (−a, −b)
• atvirkštinį elementą sandaugos operacijai nenuliniam (a, b): ${\displaystyle \left({a \over a^{2}+b^{2}},{-b \over a^{2}+b^{2}}\right).}$

Kompleksinių skaičių plokštuma

Kompleksinis skaičius gali būti vaizduojamas dvimatėje koordinačių sistemoje kaip vektorius, jungiantis koordinačių sistemos pradžią su tašku, kurio x koordinatė yra realioji kompleksinio skaičiaus dalis, o y – menamoji.

Dviejų (ar daugiau) kompleksinių skaičių suma yra tokių juos kompleksinėje plokštumoje atitinkančių vektorių vektorinė suma.

Dviejų kompleksinių skaičių sandaugą atitinkančio vektoriaus (irgi prilyginamo kompleksiniam skaičiui) ilgis lygus dauginamųjų vektorių ilgių sandaugai, o kampas su X ašimi – dauginamųjų vektorių kampų sumai. Kompleksiniai skaičiai, kuriuos atitinka vienetinio ilgio (normalizuoti) vektoriai, dauginant tiesiog pasuka kitą dauginamąjį savuoju kampu su X ašimi.

Tiek i, tiek ir -i yra kompleksiniai skaičiai, kurių realioji dalis lygi nuliui, tačiau menamoji dalis yra priešingų ženklų. Tai du su Y ašimi sutampantys vienetinio ilgio vektoriai, nukreipti priešingomis kryptimis (i aukštyn, -i žemyn), jų vektorinė suma lygi nuliui, o sandaugos kampas 90° + 270° = 360° = 0°, kas atitinka su X ašimi sutampantį, dešinėn nukreiptą vektorių (realųjį skaičių 1). ${\displaystyle i\cdot i}$ sandaugos kampas 90° + 90° = 180°, kas atitinka su X ašimi sutampantį kairėn nukreiptą vektorių, realųjį skaičių -1. Tačiau ${\displaystyle -i\cdot -i}$ sandaugos kampas 270° + 270° = 540° = (apsukus ratą) 180°, kas irgi atitinka -1.

Trigonometrinė forma

Kompleksiniai skaičiai trigonometrijoje.

Greta algebrinės formos (${\displaystyle z=(a,b)=a+b\cdot i}$) dar yra trigonometrinė kompleksinių skaičių užrašymo forma:

${\displaystyle z=r(\cos \varphi \ +i\sin \varphi \ )=re^{i\varphi }}$,

Čia

${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$,11

${\displaystyle \cos \varphi \ ={\frac {a}{r}},}$

${\displaystyle \sin \varphi \ ={\frac {b}{r}},}$.

Formulė kai ${\displaystyle r=1}$ yra vadinama Oilerio formule: ${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }$.

Šiuo atveju kompleksinis skaičius ${\displaystyle (a,b)}$ turi paprastą geometrinę interpretaciją. a yra atkarpos ilgis x ašimi, o b – y ašimi. Kampas ${\displaystyle \phi }$ yra kampas tarp x ašies ir tiesės, jungiančios koordinačių pradžią (0,0) ir tašką (a, b). ${\displaystyle r}$ yra atkarpos ilgis nuo koordinačių pradžios (0, 0) iki taško (a, b).

Daugyba, dalyba, kėlimas laipsniu ir šaknies traukimo operacijos trigonometrinėje formoje

Dviejų kompleksinių skaičių daugyba atrodys taip:

${\displaystyle z=z_{1}z_{2}=r_{1}\,e^{i\varphi _{1}}\cdot r_{2}\,e^{i\varphi _{2}}=r_{1}\,r_{2}\,e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}\,}$

dalyba:

${\displaystyle z={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}\,e^{i\varphi _{1}}}{r_{2}\,e^{i\varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\,e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})}.\,}$

Kėlimui laipsniu yra naudojama :

${\displaystyle z^{n}={\big (}r\,e^{i\varphi }{\big )}^{n}=r^{n}\,e^{in\varphi }=r^{n}(\cos {n\varphi }+i\sin {n\varphi })\,}$

Šaknies traukimo operacija:

${\displaystyle \omega ={\sqrt[{n}]{z}}}$, ${\displaystyle \omega _{k}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\frac {\varphi \ +2\pi \ k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi \ +2\pi \ k}{n}}\right)}$ – egzistuoja lygiai n skirtingų šaknų. Kai k kinta nuo 0 iki (n-1), visos gaunamos reikšmės yra skirtingos. Kai k > n, gaunamos reikšmės kartojasi.

Šaltiniai

1. Vidmantas Pekarskas. Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. 1 dalis. – Kaunas: Technologija, 2005. – 31 p.
2. Algirdas Matulis. Kompleksiniai skaičiai ir funkcijos. – Vilnius: Ciklonas, 2003. – 3 p.
3. J. B. Kuipers (2002) Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace and Virtual Reality. .
4. -i * i, Wolfram Alpha

Vikižodynas